[HAM] 직교위상 신호(Quadrature Signals)는 복잡하지 않다. 복합적 일 뿐, (1/5)

[HAM] 직교위상 신호(Quadrature Signals)는 복잡하지 않다. 복합적 일 뿐, (1/5)

A Quadrature Signals Tutorial: Complex, But Not Complicated
by Richard Lyons

[ 원본출처: https://dspguru.com/dsp/tutorials/quadrature-signals/ ]

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주) 아래 번역 중 [] 안의 내용은 제가 부연설명 삼아 추가한 것입니다. 틀릴 수 있으니 미리 양해를 구합니다. 오류나 미진한 부분이 있다면 기탄없는 지적 바랍니다. -역자-
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Introduction

서론

Quadrature signals are based on the notion of complex numbers and perhaps no other topic causes more heartache for newcomers to DSP than these numbers and their strange terminology of j-operator, complex, imaginary, real, and orthogonal. If you're a little unsure of the physical meaning of complex numbers and the j = -1 operator, don't feel bad because you're in good company. Why even Karl Gauss, one the world's greatest mathematicians, called the j-operator the "shadow of shadows". Here we'll shine some light on that shadow so you'll never have to call the Quadrature Signal Psychic Hotline for help.

복소수계(complex numbers)에 기반을 두고 있는 직교위상 신호(quadrature signal)는 아주 생소한 용어들, 일테면 j-연산자(operator), 복소수(complex), 허수(imagenary)와 실수(real) 그리고 직교성(orthogonal)과 함께 등장하여 DSP를 처음 접하는 사람들에게 이보다 가슴을 찢는 주제도 없을 것이다. 복소수와 j=√(-1) 연산자의 물리적인 의미에 조금이라도 자신이 없더라도 다른 사람도 다 그러니까 속상해 하지 말기 바란다. 역사상 가장 위대한 수학자 였던 칼 가우스 조차도 j-연산자를 일컬어 "암흑 중의 암흑"이라고 했단다. 지금부터 이 암흑에 한줄기 빛을 비춰서 더이상 "직교위상 신호 긴급전화"에 도움을 요청하는 일이 없도록 하겠다.  

Quadrature signal processing is used in many fields of science and engineering, and quadrature signals are necessary to describe the processing and implementation that takes place in modern digital communications systems. In this tutorial we'll review the fundamentals of complex numbers and get comfortable with how they're used to represent quadrature signals. Next we examine the notion of negative frequency as it relates to quadrature signal algebraic notation, and learn to speak the language of quadrature processing. In addition, we'll use three-dimensional time and frequency-domain plots to give some physical meaning to quadrature signals. This tutorial concludes with a brief look at how a quadrature signal can be generated by means of quadrature-sampling.

직교위상 신호처리는 과학과 공학등 여러 분야에서 널리 사용되는 수학적 묘사와 해석 기법이다. 직교위상 신호 처리는 현대적인 디지털 통신에서 요구되는 처리와 구현을 설명할 때  빠지지 않고 등장한다. 이 교재는 복소수계의 기초를 되집어 보고 직교위상 신호를 어떻게 복소수를 써서 표현하는지 살펴봄으로써 두려움을 벗어 덜질 수 있도록 하겠다. 이어서 직교위상 신호의 대수적 표현에 관련되어 음수로 표현된 주파수의 의미를 살펴볼 것이며 직교위상 신호처리에서 등장하는 기초 용어들을 배워보도록 한다[학문에서 '용어'는 곧 '도구'이다.] 덧붙여 시간 및 주파수 영역으로 확장한 3차원 그림을 통해 직교위상 신호의 물리적 의미를 살펴볼 것이다[역시 그림으로 표현하면 한결 이해하기 수월 하다.] 이 교재는 끝으로 직교위상 샘플링 법으로 어떻게 직교위상 신호를 생성하는지 간략히 살며보고 결론을 맺도록 하겠다[직교위상 신호는 소프트웨어 정의 라디오 SDR의 시작이기도 하다.]

Why Care About Quadrature Signals?

왜 직교위상 신호에 주목하는가 ?

Quadrature signal formats, also called complex signals, are used in many digital signal processing applications such as:

복소수 신호(complex signals)라고도 하는 직교위상 신호 형식(formats)은 디지탈 신호처리를 응용하는 수 많은 곳에 사용되고 있다[신호처리 응용 분야에 빠지지 않고 나오는 '쿼드러춰 시그널'. 어쩐지 있어보이는 한편 겁부터 나는데 알고보면 별거 아니다. 그저 '신호'를 복소수 체계로 표현한 것이다. '신호'란 아직 정체가 밝혀지지 않은 사건의 기록이다. 굳이 복소수라는 유별난 수체계를 써야 하는 이유를 알아보자. 미리 힌트를 주자면 정현파 주기 함수로 바꿔서 들여다 보고 싶기 때문이다.] 일테면,

- digital communications systems,
    디지탈 통신 시스템
- radar systems,
    레이다 시스템
- time difference of arrival processing in radio direction finding schemes
    전파 방향탐지에서 시간차를 두고 도착하는 신호들의 처리 [AESA 레이다 등]
- coherent pulse measurement systems,
    간섭성 펄스 계측 시스템 [입체 레이다 등]
- antenna beamforming applications,
    안테나 지향성 측정
- single sideband modulators,
    측파대 변조기술
- etc.
    기타 등등

These applications fall in the general category known as quadrature processing, and they provide additional processing power through the coherent measurement of the phase of sinusoidal signals.

위에 열거한 응용분야는 직교위상 신호처리가 적용되는 통상적인 경우이며 직교위상 신호처리는 정현파 신호의 간섭현상을 활용하여 더많은 활용능력을 제공한다.

A quadrature signal is a two-dimensional signal whose value at some instant in time can be specified by a single complex number having two parts; what we call the real part and the imaginary part. (The words real and imaginary, although traditional, are unfortunate because of their meanings in our every day speech. Communications engineers use the terms in-phase and quadrature phase. More on that later.) Let's review the mathematical notation of these complex numbers.

직교위상 신호는 2차원의 신호인데 순간적인 특정 시간에 [실수와 허수를 축으로 하는] 2차원 평면상의 한 값을 실수(real)와 허수(imaginary)라는 두 요소를 가진 복소수로 표현된다. (실수와 허수라는 단어는 아주 오래전부터 사용되어 일상언어에서 긍정적으로만 쓰이는 것이 아니라서 탐탁치 않다. 통신공학 종사자들은 그대신 정위상(in-phase)과 직교위상(quadrature phase)라는 용어를 사용한다. 이에 대해선 나중에 다루겠다. ['페이즈'라고 하니까 뭔가 있어보이기도 하다. 어쨌든 복소수를 위상(시간을 변수로 하는 각도의 변화)에 한정해 놓았다. 정현파 주기함수에 엮어 넣으려는 심사다.]) 이 복소수 체계의 수학적 의미에 대해 되짚어 보기로 한다.

The Development and Notation of Complex Numbers

복소수 체계로 표현하여 의미를 확장하기

To establish our terminology, we define a real number to be those numbers we use in every day life, like a voltage, a temperature on the Fahrenheit scale, or the balance of your checking account. These one-dimensional numbers can be either positive or negative as depicted in Figure 1(a). In that figure we show a one-dimensional axis and say that a single real number can be represented by a point on that axis. Out of tradition, let's call this axis, the Real axis.

앞으로 사용할 용어를 정의해 두기위해 먼저 우리가 일상에서 사용하는 숫자, 일테면 전압, 온도, 또는 은행 대차(저축액과 대출액의 차이) 같은 실수(real number)를 정의해 보자. 이 일차원 숫자는 그림 1의 (a)에서 보인 것처럼 음수 또는 양수가 될 수 있다. 그림에서 숫자값을 1차원 축상에 표시한 것을 볼 수 있는데 한 축상에 한점으로 나타낼 수 있다고 한다. 전통적으로 사용하던 용어를 써서 '실수' 축이라고 하자.

Figure 1. An graphical interpretation of a real number and a complex number.
그림 1. 그림으로 보는 실수와 복소수 표현

A complex number, c, is shown in Figure 1(b) where it's also represented as a point. However, complex numbers are not restricted to lie on a one dimensional line, but can reside anywhere on a two-dimensional plane. That plane is called the complex plane (some mathematicians like to call it an Argand diagram), and it enables us to represent complex numbers having both real and imaginary parts. For example in Figure 1(b), the complex number c = 2.5 + j2 is a point lying on the complex plane on neither the real nor the imaginary axis. We locate point c by going +2.5 units along the real axis and up +2 units along the imaginary axis. Think of those real and imaginary axes exactly as you think of the East-West and North-South directions on a road map.

그림 1(b)에서 보듯이 복소수 c 역시 한점으로 나타낸다. 하지만 복소수는 1차원 직선위에 묶이지 않고 2차원 평면위의 임의 장소에 있다. 이 평면을 우리는 복소수 평면(complex plane) 이라고 부른다. Argand diagram 이라고 부르는 수학자들도 있다. 복소수를 실수와 허수를 사용해 표현한다[한 점 혹은 한 값을 두개의 인자를 동원해 표현한다.] 이를테면 그림 1(b)에서 복소수 c = 2.5 + j2는 실수 축이나 허수 축 상에 구속되지 않고 복소수 평면위의 한 점에 놓여있다. 복소수 c 의 위치를 특정 하려면 실수 축으로 2.5 갔다가 허수 축으로 2만큼 가야 한다. 이 실수와 허수는 우리가 아는 지도상의 동-서, 남-북 방향을 잡는것과 같다.

We'll use a geometric viewpoint to help us understand some of the arithmetic of complex numbers. Taking a look at Figure 2, we can use the trigonometry of right triangles to define several different ways of representing the complex number c.

이해를 돕기 위해 복소수의 산술적인 특징을 기하학적 관점에서 살펴보기로 한다[우리는 보이는 것만 믿는 경향이 있다. 그림으로 보면 이해에 도움이 되겠지만 복소수의 모든 것을 그림으로 나타내기는 어렵다. 그랬더라면 허수라는 개념이 어렵지도 않고 심지어 필요도 없었을지 모른다.] 그림 2을 보면서 직각 삼각형의 삼각법(trigonometry)을 적용하여 복소수 c 를 표현할 수 있는 몇가지 다른 방법을 찾을 수 있다. 

Figure 2. The phasor representation of complex number c = a + jb on the complex plane.
그림 2. 복소수 평면 위에서 복소수 c = a + jb 로 페이저(phasor) 나타내기

Our complex number c is represented in a number of different ways in the literature, such as:

우리가 다룰 복소수 c  를 표기하는 다양한 방법을 소개한다[응용이나 관점에 따라 한 객체를 표현하는 다양한 방법이 존재한다. 한 객체가 여러 의미를 담고 있을 때 이를 복합적 혹은 추상적 이라 한다.]

Eqs. (3) and (4) remind us that c can also be considered the tip of a phasor on the complex plane, with magnitude M, in the direction of ф degrees relative to the positive real axis as shown in Figure 2. Keep in mind that c is a complex number and the variables a, b, M, and ф are all real numbers. The magnitude of c, sometimes called the modulus of c, is

위의 식 (3)과 (4)는 복소수 c 가 그림 2에서 보인 것처럼 크기가 M이고 양의 실수 축에서 각도 ф의 [반시계] 방향으로 향하는 복소수 평면위의 페이저(phasor)의 끝을 표현한다는 것을 알 수 있다. 유의할 것은 복소수 c 가 a, b, M 그리고 ф 의 실수 변수를 가진다는 점이다. 가끔 모듈러스(modulus: 계수)라고 부르기도 하는 복소수 c 의 크기는 다음과 같이 계산된다.

 [페이저(phasor)는 오일러 공식을 이용해 시간에 대해 진폭(M), 위상, 주기가 불변(주파수 고정과 같은 의미로 시간의 함수 ф(t)의 속도가 상수)인 정현함수를 표현하는 방법이다. 원점에서 원주를 도는 회전자를 향한 벡터의 끝점(위치벡터)을 표현한다. 회전 속도(주파수)가 불변인 페이저에 진폭을 변화시키면 진폭변조가 된다.]

Trivia question: In what 1939 movie, considered by many to be the greatest movie ever made, did a main character attempt to quote Eq. (5)?

돌발 퀴즈: 불후의 명작으로 알려진 1939년의 영화 중 식(5)를 언급한 영화는? 바람과 함께 사라지다 / 오즈의 마법사 / 역마차

OK, back to business. The phase angle Φ, or argument, is the arctangent of the ratio imaginary part/real part , or

다시 본론으로 돌아가서, 페이저의 인수(argument)인 위상각 Φ는 실제값 분의 허수값을 역 탄젠트(arc-tangent)하여 구할 수 있다.

If we set Eq. (3) equal to Eq. (2), Me^(jΦ) = M[cos(Φ) + jsin(Φ)] , we can state what's named in his honor and now called one of Euler's identities as:

식(3)과 식(2)이 같다고 하면 Me^(jΦ) = M[cos(Φ) + jsin(Φ)] 이므로 위대한 수학자의 이름을 딴 오일러 공식(Euler's identities)이 된다.

The suspicious reader should now be asking, "Why is it valid to represent a complex number using that strange expression of the base of the natural logarithms, e, raised to an imaginary power?" We can validate Eq. (7) as did the world's greatest expert on infinite series, Herr Leonard Euler, by plugging jΦ in for z in the series expansion definition of e^(z) in the top line of Figure 3. That substitution is shown on the second line. Next we evaluate the higher orders of j to arrive at the series in the third line in the figure. Those of you with elevated math skills like Euler (or those who check some math reference book) will recognize that the alternating terms in the third line are the series expansion definitions of the cosine and sine functions.

의심많은 독자라면 "어떻게 자연지수 함수의 지수에 허수가 들어갔다고 복소수와 등치가 될 수 있어?" 라며 의문을 가질 것이다.  식(7)은 지수함수 e^(z) 의 무한급수합(infinite seriese expansion)의 정의를 가지고 수월하게 증명 할 수 있다. 경애하는 레오나드 오일러가 그랬듯이 그림 3의 윗줄과 같은 자연지수 함수의 급수확장식에서 지수부 z 에 jΦ를 대입해 보면 두번째 줄 처럼 된다. 허수 j 의 차수가 증가하면서 그림 3의 세번째 줄 처럼 계산된다[√(-1)의 2승은 -1이다. 4승은 1이다. 홀수차 승은 허수가 그대로 남는다.]  허수를 계산한 세번째 줄에서 수학 참고서를 꺼내 사인(sine)과 코사인(co-sine) 함수의 급수확장과 비교해 보라.

Figure 3 One derivation of Euler's equation using series expansions for e^(z), cos(Φ), and sin(Φ).
그림 3. 지수함수 e^(z)의 급수식에 허수를 대입하여 오일러 방정식 유도 

Figure 3 verifies Eq. (7) and our representation of a complex number using the Eq. (3) polar form: Me^(jΦ). If you substitute -jΦ for z in the top line of Figure 3, you'd end up with a slightly different, and very useful, form of Euler's identity:

그림 3에서 식 7을 증명했다. 식(3)과 같은 극좌표 형식 Me^(jΦ)을 쓰면 복소수를 표현 할 수 있음을 보인 것이다. 이번에는 지수부 z 에 -jΦ를 대입할 경우 그림 3에서 했던 것처럼 순서를 따라가 보자. 약간 다른 결과를 얻을 수 있다. 허수부의 부호만 바뀐다는 점에 주목하자. 이 역시 오일러 공식으로 매우 유용하다.

The polar form of Eqs. (7) and (8) benefits us because:

식 (7)과 (8)과 같이 극좌표 형식(복소수를 지수함수 형식)으로 표현 했을때 장점을 꼽자면 다음과 같다.

- It simplifies mathematical derivations and analysis,
    미적분 수학과 계산(특히 곱셈)에 유리하다.
    -- turning trigonometric equations into the simple algebra of exponents,
        삼각함수가 들어간 방정식을 간단한 지수함수 형식으로 바꿀 수 있다.
    -- math operations on complex numbers follow exactly the same rules as real numbers.
        복소수가 들어간 연산을 마치 실수의 연산 법칙으로 수행할 수 있다. 
- It makes adding signals merely the addition of complex numbers (vector addition),
    신호 더하기(합성)이 마치 복소수 더하기(벡터 덧셈)으로 가능하다.
- It's the most concise notation,
    무엇 보다도 수식이 간단명료하다.
- It's indicative of how digital communications system are implemented, and described in the literature.
    디지탈 통신 시스템이 어떻게 구축되었는지 설명하는 문서에 등장한다.

We'll be using Eqs. (7) and (8) to see why and how quadrature signals are used in digital communications applications. But first, let’s take a deep breath and enter the Twilight Zone of that 'j' operator.

식 (7)과 (8)을 통해 직교위상 신호를 써야 하는 이유와 어떻게 쓰는지 그리고 디지털 통신 시스템에서 어떻게 활용되는지 보게될 것이다. 먼저 심호흡 한번 하고 'j' 연산자라는 신비한 영역에 들어가 보기로 한다[허수를 표시하는 j 를 연산자(operator)라고 불럿다. 왜 그랬을까?]

You've seen the definition j = √(-1) before. Stated in words, we say that j represents a number when multiplied by itself results in a negative one. Well, this definition causes difficulty for the beginner because we all know that any number multiplied by itself always results in a positive number.

앞서 j = √(-1)라고 정의 했었다. 말로 하자면 j 는 자기 자신을 거듭 곱하면(제곱하면) 음수 1이 된다는 뜻이다. 자기 자신을 거듭 제곱하면 항상 양수가 되어야 한다고 배웠기에 언뜻 보면 이게 무슨 뜻인지 와닫지 않는다[그래서 뭐?] 

Unfortunately DSP textbooks often define the symbol j and then, with justified haste, swiftly carry on with all the ways that the j operator can be used to analyze sinusoidal signals. Readers soon forget about the question: What does j = √(-1) actually mean?

아쉽게도 대부분 DSP 교과서들은 j 를 정의해 놓고는 당연하다는 듯이  곧장 사인 함수 신호 분석에 적용하기를 서슴치 않는다. 독자들은 의문을 품을 여지 없다. 도데체 j = √(-1) 이게 무슨 의미란 말인가? [DSP 를 배울 요량이면 어지간한 수학적 배경은 가지고 달려 들었을 거라고 간주해서 그런가? 아니면 '애들은 가라!'며 잰체 하려는 것일지도 모른다. 그렇다고 지면 않된다. 계속 디벼보자.]

Well, √(-1) had been on the mathematical scene for some time, but wasn't taken seriously until it had to be used to solve cubic equations in the sixteenth century[1], [2].  Mathematicians reluctantly began to accept the abstract concept of √(-1), without having to visualize it, because its mathematical properties were consistent with the arithmetic of normal real numbers.

수학 문제를 풀다보면 제곱근 안에 음수가 되는 경우가 없었던 것은 아닌데 16세기 이차방정식을 풀려고 시도하기 전까지 그리 심각하게 받아들이진 않았다[1], [2]. 수학자들은 눈으로 보기 전에는 제곱근 안에 음수가 되는 경우를 받아들이려 하지 않았다. 보통 실수를 사용하는 계산법에 부합하길 바랬기 때문이다.

It was Euler's equating complex numbers to real sines and cosines, and Gauss' brilliant introduction of the complex plane, that finally legitimized the notion of √(-1) to Europe's mathematicians in the eighteenth century. Euler, going beyond the province of real numbers, showed that complex numbers had a clean consistent relationship to the well-known real trigonometric functions of sines and cosines.

실수 사인과 코사인 함수에 대해 오일러가 복소수 방정식을 세우고 가우스에 의해 복소수 평면이 멋지게 소개되자 마침내 √(-1)의 개념이 18세기의 유럽의 수학자들에게 받아들이게 되었다. 실수의 영역을 뛰어넘은 오일러는 복소수와 이미 잘 알려진 사인이나 코사인같은 실수의 삼각함수들과의 관계를 명확히 했다. 

As Einstein showed the equivalence of mass and energy, Euler showed the equivalence of real sines and cosines to complex numbers. Just as modern-day physicists don’t know what an electron is but they understand its properties, we’ll not worry about what 'j' is and be satisfied with understanding its behavior. For our purposes, the j-operator means rotate a complex number by 90 counterclockwise. (For you good folk in the UK, counterclockwise means anti-clockwise.) Let's see why.

아인슈타인이 질량과 에너지의 등가성을 밝혔듯이 오일러는 실수의 사인과 코사인을 등가의 복소수로 표현할 수 있음을 보였다. 오늘날의 물리학자들은 전자를 본적은 없지만 그 특성은 잘 이해하고 있듯이 우리는 'j'가 무엇인지 의심하지 않고 그 작용이 어떨지 이해하는데 만족하고 있다. 우리의 목표[보진 못해도 어떤 역할을 하는지 이해하기] 대로 j-연산자(operator)는 복소수를 시계방향으로 90도 틀어 놓는 역활을 한다 [j 는 상수인가? 연산자인가?] 어떻게 그렇게 되었는지 보자[왜 j 를 연산자라고 할까?]

We'll get comfortable with the complex plane representation of imaginary numbers by examining the mathematical properties of the j = √(-1) operator as shown in Figure 4.

그림 4에 표현한 것처럼 복소수를 복소수 평면에 나타면 j = √(-1) 연산자의 특성을 수월하게 살펴볼 수 있다.

Figure 4. What happens to the real number 8 when you start multiplying it by j.
그림 4. 실수 8에 허수 연산자 j 를 연속으로 곱하면 무슨일이 벌어지나.

Multiplying any number on the real axis by j results in an imaginary product that lies on the imaginary axis. The example in Figure 4 shows that if +8 is represented by the dot lying on the positive real axis, multiplying +8 by j results in an imaginary number, +j8, whose position has been rotated 90 deg counterclockwise (from +8) putting it on the positive imaginary axis.

실수축에 있는 한 숫자에 J를 곱하면 허수축 상으로 옮겨진다. 그림4의 예에서 보듯이 실수축상의 한 숫자 +8에 j 를 곱하면 위치가 90도 회전한 셈이 되어 허수축의 +8j로 옮겨간다.

Similarly, multiplying +j8 by j results in another 90 rotation yielding the -8 lying on the negative real axis because j^2 = -1. Multiplying -8 by j results in a further 90 rotation giving the -j8 lying on the negative imaginary axis. Whenever any number represented by a dot is multiplied by j, the result is a counterclockwise rotation of 90o. (Conversely, multiplication by -j results in a clockwise rotation of -90o on the complex plane.)

같은 식으로 +j8에 j 를 곱하면 90도 돌아 실수축의 음수 위치인 -8에 놓인다. 다시 j를 곱하면 허수축 음수 위치인 -j8에 놓이고 이어서 j 를 곱하면 실수축 양의 위치인 8이다. 역으로 -j 를 연속으로 곱하면 -90도씩 반시계 방향으로 회전하는 것과 같아진다.

If we let Φ = π/2 in Eq. 7, we can say that

만일 위상값 Φ = π/2 인 경우 다음과 같다.

Here's the point to remember. If you have a single complex number, represented by a point on the complex plane, multiplying that number by j or by e^(jπ/2) will result in a new complex number that's rotated 90 deg counterclockwise (CCW) on the complex plane. Don't forget this, as it will be useful as you begin reading the literature of quadrature processing systems!

한가지 꼭 기억해 두어야 할 것이 있다. 복소수 평면 상의 한점으로 대변되는 복소수에 j 또는 e^(jπ/2)를 곱하면 반시계방향(CCW)으로 90도 회전된 새로운 복소수가 나온다. 이점을 숙지해 두어야 한다. 직교위상 신호처리를 다루는 내내 아주 유용하게 사용될 것이다.

Let's pause for a moment here to catch our breath. Don't worry if the ideas of imaginary numbers and the complex plane seem a little mysterious. It's that way for everyone at first—you'll get comfortable with them the more you use them. (Remember, the j-operator puzzled Europe's heavyweight mathematicians for hundreds of years.) Granted, not only is the mathematics of complex numbers a bit strange at first, but the terminology is almost bizarre. While the term imaginary is an unfortunate one to use, the term complex is downright weird. When first encountered, the phrase complex numbers makes us think 'complicated numbers'. This is regrettable because the concept of complex numbers is not really all that complicated. Just know that the purpose of the above mathematical  rigmarole was to validate Eqs. (2), (3), (7), and (8). Now, let's (finally!) talk about time-domain signals.

이쯤해서 숨을 고르고 가자. 허수의 개념과 복소수 평면이 다소 혼란 스럽더라도 걱정하지 않아도된다. 누구나 처음에는 그렇다. 머잖아 쓰다보면 익숙해 질 것이다. 백년전의 유럽 수학의 거장들도 j-연산자를 받아들이기 힘들어 했다는 것을 기억해 두라. 복소수 수학을 처음 접하면 이상하게 느껴질 뿐만 아니라 사용되는 용어들도 어쩜 기괴하게 들릴지 모르니 그냥 받아들이기로 하자. 허수(imaginary)라는 단어는 운이 없다고 쳐도 복합(complex)이라는 단어를 사용한 것은 확실히 잘못 선택됐다. [수학에서는 '복소수'라고 번역하는] 복합적 수체계(complex numbers)라는 말을 처음 접하면 뭔가 '복잡한 것(complicated, 어려운것)'이라는 느낌을 받게된다. 복소수의 개념은 실제로 복잡하지 않기에 이런 단어를 선택한 것은 확실히 잘못됐다. 이런저런 이야기(rigmarile)를 늘어놓긴 했는데 식 (2), (3), (7) 그리고 (8)을 꺼내놓기 위한 것이었다. 이제 신호처리의 의미있는 이야기를 해보자. 먼저 시간 영역 신호 처리(time-domain signals)다. 

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<계속>