[HAM] 직교위상 신호(Quadrature Signals)는 복잡하지 않다. 복합적 일 뿐, (2/5)

[HAM] 직교위상 신호(Quadrature Signals)는 복잡하지 않다. 복합적 일 뿐, (2/5)

A Quadrature Signals Tutorial: Complex, But Not Complicated
by Richard Lyons

[ 원본출처: https://dspguru.com/dsp/tutorials/quadrature-signals/ ]

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주) 아래 번역 중 [] 안의 내용은 제가 부연설명 삼아 추가한 것입니다. 틀릴 수 있으니 미리 양해를 구합니다. 오류나 미진한 부분이 있다면 기탄없는 지적 바랍니다. -역자-
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<이전>

Representing Real Signals Using Complex Phasors

복소수 페이저로 실신호(시간 영역에서) 표현하기

[실생활(real life)은 시간의 흐름에 순응하여 발생하는 사건의 연속이다.]

OK, we now turn our attention to a complex number that is a function time. Consider a number whose magnitude is one, and whose phase angle increases with time. That complex number is the e^(j2πf_0t) point shown in Figure 5(a). (Here the 2πf_0 term is frequency in radians/second, and it corresponds to a frequency of fo cycles/second where f_0 is measured in Hertz.) As time t gets larger, the complex number's phase angle increases and our number orbits the origin of the complex plane in a CCW direction.

자, 이제 복소수를 시간의 함수로 집중해보자. 크기(magnitude)가 1이고 위상각(phase angle)이 시간에 따라 증가하는 수(number)가 있다고 해보자. 이 수는 그림 5(a)에서 보는 것처럼 복소수로서 e^(j2πf_0t) 상의 한 점이다. (시간에 따라 증가하는 위상각 φ(t)를 래디언(radian)으로 표현한다. 증가하는 속도가 일정한 각도를 주파수(초당 회전수) f_0로 나타내면 2πf_0t 다. 시간의 함수 φ(t)를 주파수로 표현하여 시간 t를 명시적으로 표현할 수 있게된다. 이때 f_0를 고정된 회전수로 보면 φ(t) = 2πf_0t 다. 초당 회전수 f_0를 헤르츠(Hz)라 한다.) 시간이 증가하면 복소수 페이저[]그림 5에서 원주상의 한점은 원점을 중심으로 반시계방향으로 회전한다 [반지름의 크기가 1로 고정되었으므로 원주상을 회전한다.]

Figure 5(a) shows the number, represented by the black dot, frozen at some arbitrary instant in time. If, say, the frequency fo = 2 Hz, then the dot would rotate around the circle two times per second. We can also think of another complex number e^(-j2πf_0t) (the white dot) orbiting in a clockwise direction because its phase angle gets more negative as time increases.

그림 5(a)에서 한 순간의 수를 원주상 한점으로 나타낸 것이다. 일테면 f_0 = 2Hz 라면 이 점은 원주를 초당 2바퀴 돈다[끊임 없이]. 이번에는 다른 관점에서 복소수 e^(-j2πf_0t)를 보자. 흰점인데, 시간당 증가하는 각도가 시계방향인 음으로 증가하기 때문이다. [이번에는 지수부에 음의 부호가 붙었다. 시간은 거꾸로 갈 수 없다. 하지만 각도는 역방향을 상정할 수 있다. 각도와 주파수는 역수관계로 대응된다. 음의 각도이므로 주파수에 음의 값을 붙인다. 주파수가 음의 값이 된다는 것이 이상하지 않은가?]

Figure 5. A snapshot, in time, of two complex numbers whose exponents change
그림 5. 시간에 따라 바뀌는 지수부를 가진 복소수의 순간 값

Let's now call our two e^(j2πf_0t) and e^(-j2πf_0t) complex expressions quadrature signals.  They each have quadrature real and imaginary parts, and they are both functions of time. Those e^(j2πf_0t) and e^(-j2πf_0t) expressions are often called complex exponentials in the literature.

이제부터 두 시간의 자연지수 함수 e^(j2πf_0t) 와 e^(-j2πf_0t) 를 직교위상 신호들 이라고 하자 [직교위상 신호: 한개의 파동을 두개의 복소수로 표현한다.] 각 복소수 식(expression)은 실수부와 지수부를 가지며 모두 시간의 함수다 [오일러 공식에 따라 자연지수 함수의 지수부에 복소수가 들어감으로써 복소수 표현이 된다.] 이들 두 식을 어떤 문서에서는 때로 복소지수(complex exponentials)라고 부르기도 한다.

We can also think of those two quadrature signals, e^(j2πf_0t) and e^(-j2πf_0t), as the tips of two phasors rotating in opposite directions as shown in Figure 5(b). We're going to stick with this phasor notation for now because it'll allow us to achieve our goal of representing real sinusoids in the context of the complex plane. Don't touch that dial!

이들 두 직교위상 신호 e^(j2πf_0t) 와 e^(-j2πf_0t)는 그림 5(b) 처럼 서로 반대방향으로 회전하는 두 페이저(phasor, 위상자) 끝점으로 볼 수 있다. [위상자는 벡터다. 한점을 두개의 요소(평면 상의)로 표현하고 있으므로 이를 위치벡터라 한다.] 이제부터 복소수 공간에서 실제 삼각함수를 나타내기 위해서 이 페이저의 표현법을 익히도록 하자. 채널 고정! [갑자기 어려운 말이 나왔더라도 포기하지 말고 힘내자!]

To ensure that we understand the behavior of those phasors, Figure 6(a) shows the three-dimensional path of the e^(j2πf_0t) phasor as time passes. We've added the time axis,  coming out of the page, to show the spiral path of the phasor. Figure 6(b) shows a continuous version of just the tip of the e^(j2πf_0t) phasor. That e^(j2πf+0t) complex number, or if you wish, the phasor's tip, follows a corkscrew path spiraling along, and centered about, the time axis. The real and imaginary parts of e^(j2πf_0t) are shown as the sine and cosine projections in Figure 6(b).

페이저를 제대로 이해했는지 그림으로 확인해 보자. 페이져 e^(j2πf_0t)의 시간상 3차원 경로는 그림 6(a)와 같다. 이 그림에서 시간 축을 복소수 평면의 앞으로 뻗어 나오게 놓았다. 시간이 흐름에 따라 페이져의 경로는 실수축과 허수축이 이루는 평면에서 수직으로 뻗어 나오는 나선의 모습이 된다. 그림 6(b)는 페이저의 화살촉을 연속선으로 그린 것이다. 굳이 말하자면 페이져의 화살촉이라고 불러도 좋은 복소수 e^(j2πf_0t)는 중심에 시간의 축을 둔 포도주 콜크 병따개 처럼 나선형의 모습을 갖는다. 그림 6(b)에서 보는 것처럼 복소수 e^(j2πf_0t)의 시간상 나선형 궤적을 시간축과 실수측 평면 그리고 시간축과 허수축 평면에 투영한 모습을 보면 코사인과 사인의 모습이 된다.

Figure 6. The motion of the e^(j2πf_0t) phasor (a), and phasor 's tip (b).
그림 6. 페이저 e^(j2πf_0t)의 모습(a) 그리고 페이저 화살촉(위치벡터)의 궤적 (b).

Return to Figure 5(b) and ask yourself: "Self, what's the vector sum of those two phasors as they rotate in opposite directions?" Think about this for a moment... That's right, the phasors' real parts will always add constructively, and their imaginary parts will always cancel. This means that the summation of these e^(j2πf_0t) and e^(-j2πf_0t) phasors will always be a purely real number. Implementations of modern-day digital communications systems are based on this property!

그림 5(b)로 돌아가서 이런 질문을 해보자. "그럼 서로 반대방향으로 도는 두 페이저의 합은 어떻게 될까?" 잠시 생각해 보자....... 맞다. 페이저의 실수부는 항상 더해지는데 허수부는 상호 반대라 상쇄된다 [간단히 평행사변형 그리기로 벡터 합 구해 봐도 알수있다.] 이말인 즉슨 e^(j2πf_0t)와 e^(-j2πf_0t)의 두 페이저 함이 항상 실수 만으로 존재하다는 뜻이다. 오늘날 디지털 통신 시스템은 바로 이런 특성을 동원하여 구현됐다! [당연하지만 수학이론과 실제 자연현상은 일치한다. 말 그대로 허수(imaginary number)는 이론을 위한 도구로 생각해낸 것일 뿐이며 실제로는 존재하지 않는다.]

To emphasize the importance of the real sum of these two complex sinusoids we'll draw yet another picture. Consider the waveform in the three dimensional Figure 7 generated by the sum of two half-magnitude complex phasors, e^(j2πf_0t)/2 and e^(-j2πf_0t)/2, rotating in opposite directions around, and moving down along, the time axis.

두 복소 삼각함수(complex sinusoids)의 실수 합의 중요성을 다시한번 짚어 보기 위해 또 다른 그림을 제시한다. 그림 7은 진폭이 절반인 두 복소 페이저 e^(j2πf_0t)/2 와 e^(-j2πf_0t)/2 가 서로 반대 방향으로 회전하며 시간축을 따라 움직이는 모습을 삼차원으로 그려놓은 것이다.

Figure 7. A cosine represented by the sum of two rotating complex phasors.
그림 7. 코사인(cosine)은 서로 역회전하는 두 복소 페이저의 합이다.

Thinking about these phasors, it's clear now why the cosine wave can be equated to the sum of two complex exponentials by

이 두 페이저를 다음 식으로 따져보면 두 복소 페이져의 합이 코사인 파형이 됨을 알 수 있다.

Eq. (10), a well-known and important expression, is also called one of Euler's identities. We could have derived this identity by solving Eqs. (7) and (8) for jsin(φ), equating those two expressions, and solving that final equation for cos(φ). Similarly, we could go through that same algebra exercise and show that a real sine wave is also the sum of two complex exponentials as

식 (10)은 아주 잘 알려진 중요한 수식으로 오일러 등가식(Euler's identities)이라고 한다. 이 등가식은 식 (7)과 (8)을 활용하여 식을 전개하면 jsin(φ) 항이 사라지고 결국 cos(φ)만 남는다. 비슷한 방법으로 실수의 사인함수는 두 복소수 지수함수의 차로 구할 수 있다. 

Look at Eqs. (10) and (11) carefully. They are the standard expressions for a cosine wave and a sine wave, using complex notation, seen throughout the literature of quadrature communications systems. To keep the reader's mind from spinning like those complex phasors, please realize that the sole purpose of Figures 5 through 7 is to validate the complex expressions of the cosine and sine wave given in Eqs. (10) and (11). Those two equations, along with Eqs. (7) and (8), are the Rosetta Stone of quadrature signal processing.

식 (10)과 (11)을 자세히 들여다 보자. 이 두식은 복소수로 표현한 코사인 파와 사인파의 기본형으로 대부분 직교위상 신호처리에 관한 기술 문서에 빠짐없이 등장하는 식이다. 앞서 봤던 그림 5에서 7까지의 그림들은 오직 식 (10)과 (11)을 증명해 보이기 위해 동원되었다는 점을 기억하기 바란다. 식 (7)과 (8)과 함께 이 두 식 (10)과 (11)은 직교위상 신호 처리의 로제타 석(Rosetta Stone) [이집트 문자를 해석하는데 결정 열쇄를 제공한 비석이다.]이라 할 것이다.

We can now easily translate, back and forth, between real sinusoids and complex exponentials. Again, we are learning how real signals, that can be transmitted down a coax cable or digitized and stored in a computer's memory, can be represented in complex number notation. Yes, the constituent parts of a complex number are each real, but we're treating those parts in a special way - we're treating them in quadrature.

이제 실제 삼각함수들과 복소수 지수함수 사이를 오가며 해석 할 수 있게 되었다 [직교위상 신호처리를 수행할 도구를 갖추게 되었다.] 동축 케이블을 따라 전송되거나 숫자화되고 컴퓨터 기억장치에 저장된 실제 신호는 복소수 표기법으로 표현할 수 있다. 그렇다. 복소수를 구성하는 숫자들은 모두 실수 이지만 이 두 부분을 실수부와 허수부로 나누는 특별한 방법으로 취급할 것이다.  우리는 이 복소수 또는 페이져를 직교위상 공간에서 다뤄 보려고 한다.

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<계속>