[HAM] 대중을 위한 소프트웨어 정의 라디오(SDR), 1부 (3/8)

[HAM] 대중을 위한 소프트웨어 정의 라디오(SDR), 1부 (3/8)

A Software-Defined Radio for the Masses, Part 1 - ARRL [Link]
By Gerald Youngblood, AC5OG

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주) 아래 번역 중 [] 안의 내용은 제가 부연설명 삼아 추가한 것입니다. 틀릴 수 있으니 미리 양해를 구합니다. 오류나 미진한 부분이 있다면 기탄없는 지적 바랍니다. -역자-
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<이전>

Analog and Digital Signals in the Time Domain

시간 영역에서 아날로그와 디지털 신호

To understand DSP we first need to understand the relationship between digital signals and their analog counterparts. If we look at a 1-V (pk) sine wave on an analog  scilloscope, we see that the signal makes a perfectly smooth curve on the scope, no matter how fast the sweep frequency. In fact, if it were possible to build a scope with an infinitely fast horizontal sweep, it would still display a perfectly smooth curve (really a straight line at that point). As such, it is often called a continuous-time signal since it is continuous in time. In other words, there are an infinite number of different voltages along the curve, as can be seen on the analog oscilloscope trace.

DSP를 이해 하려면 먼저 디지털 신호와 그에 대응하는 아날로그 신호에 대한 이해가 필요하다. 만일 첨두치가 1볼트인 정현파[sine wave, 사인 파]를 아날로그 오실로 스코프로 관찰 해보면 주파수가 흐르건 말건 부드러운 곡선의 모습을 보게된다. 사실 수평축 주파수 조절을 정확히 맞춰 놓으면 완벽하게 (밝은 선들이 연속적으로 이어져 있는) 부드러운 정지된 곡선을 볼 수 있다. 이런 신호를 연속시간(continuous-time) 신호라고 부르기도 하는데 시간 축으로 연속되어 있기 때문이다. 달리 표현하자면 오실로 스코프에서 보듯이 곡선의 간격에 전압차를 무한히 분해해 냈다고도 말한다. [곡선에 끊김이 없이 연속이다.]

On the other hand, if we were to measure the same sine wave with a digital voltmeter at a sampling rate of four times the frequency of the sine wave, starting at time equals zero, we would read: 0 V at 0°, 1 V at 90°, 0 V at 180° and –1 V at 270° over one complete cycle. The signal could continue perpetually, and we would still read those same four voltages over and again, forever.

한편 디지털 볼트 메터로 동일한 사인파를 측정 하는데 이 사이파의 주기보다 4배 빠르게 [주파수는 시간 분의 1 이므로 결국 측정 시간 간격이 피 측정 사인파의 주기보다 4분의 1배가 된다.] 측정(sampling) 해보자. 피 측정 사인파가 기준시간에서 출발 했다고 가정하면 측정치는 각도 0도에서 0볼트, 90도에서 1볼트, 180도에서 0볼트 그리고 270도에서 -1볼트 순으로 한 주기를 마감하며 계속 이어질 것이다.

We have measured the voltage of the signal at discrete moments in time. The resulting voltage measurement sequence is therefore called a discrete-time signal. If we save each discrete-time signal voltage in a computer memory and we know the frequency at which we sampled the signal, we have a discretetime sampled signal. This is what an analog-to-digital converter (ADC) does. It uses a sampling clock to measure discrete samples of an incoming analog signal at precise times, and it produces a digital representation of the input sample voltage.

등간격으로 나눈 시간에 맞춰 전압을 측정 했다. 그 측정으로 얻어진 일련의 전압치를 이산시간(discrete-time) 신호라고 부른다. 이산시간 신호의 전압치를 측정한 시간과 함께 즉시 컴퓨터 기억장치에 저장해 둔 것을 검출된(sampled) 이산신호라 한다. 이런 측정을 해주는 반도체 부품이 '아날로그-디지털 변환기(에이디 컨버터, A-D Converter, 줄여서 ADC)'다. 유효한 이산측정치를 얻기 위해서 측정은 반드시 동일한 시간을 유지 해야 하는데 이를 측정 주파수다. 연속시간 아날로그 신호를 이산시간 디지털 신호로 변환 할 때 측정 시간은 반드시 등간격이어야 상호 호환 가능하다.]

In 1933, Harry Nyquist discovered that to accurately recover all the components of a periodic waveform, it is necessary to use a sampling frequency of at least twice the bandwidth of the signal being measured. That minimum sampling frequency is called the Nyquist criterion. This may be expressed as:

1933년에 헨리 나이퀴스트는 주기적인 파형을 제대로 [이산 신호에서 원래의 연속신호로] 복원하려면 피측정 신호의 주파수보다 적어도 두배이상의 주기로 측정했어야 한다는 것을 알아냈다. 이를 최소 샘플링 주파수라고 하는데 나이퀴스트 샘플링 조건이라고 부른다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

where fs is the sampling rate and fbw is the bandwidth. See? The math isn’t so bad, is it?

(식1)에서 f_s는 샘플링 주파수, f_bw [피 측정 아날로그 신호의] 대역폭이다. 나이퀴스트 샘플링 조건을 스학으로 표현한 것인데 여러마디 말보다 명료하지 않은가?

Now as an example of the Nyquist criterion, let’s consider human hearing, which typically ranges from 20 Hz to 20 kHz. To recreate this frequency response, a CD player must sample at a frequency of at least 40 kHz. As we will soon learn, the maximum frequency component must be limited to 20 kHz through low-pass filtering to prevent distortion caused by false images of the signal. To ease filter requirements, therefore, CD players use a standard sampling rate of 44,100 Hz. All modern PC sound cards support that sampling rate.

이번에는 나이퀴스트 조건이 적용된 예로써 주파수 대역이 20Hz에서 20kHz 사이라고 알려진 인간의 가청 주파수 대역의 신호를 샘플링 해보자. 가청 주파수 대역을 근거로 음악 CD 플레이어의 샘플링 주파수는 최소 40 kHz 이어야 한다. 잠시 후 살펴 보겠지만 불요한 이미지 신호에 의한 왜곡(찌그러짐)을 방지하기 위해 저역 통과 필터(LPF, Low-Pass Filter)를 통과시켜 [입력 신호의 범위를] 20 kHz 이내로 제한 시켜야 한다. 필터의 요건을 만족 시키기 위해 CD 플레이어는 44,100 Hz의 샘플링 주파수를 사용한다. 대부분 PC의 사운드 카드는 이 샘플링 주파수를 지원하고 있다.

What happens if the sampled bandwidth is greater than half the sampling rate and is not limited by a low-pass filter? An alias of the signal is produced that appears in the output along with the original signal.

만일 피 샘플 신호의 대역이 샘플링 주파수의 절반을 넘지 않도록 저역 필터(LPF)를 통과시키지 않으면 어떻게 될까? [샘플된] 출력에 원신호에 없던 위신호(alias)가 더해진다[위신호 현상(aliasing)이라고 한다.]

[참조: 에일리어싱]

샘플링 속도가 실제 신호 속도보다 느리면 그림과 같이 다른 모양의 주파수로 측정되어 보일 수 있다.

Aliases can cause distortion, beat notes and unwanted spurious images. Fortunately, alias frequencies can be precisely predicted and prevented with proper low-pass or band-pass filters, which are often referred to as anti-aliasing filters, as shown in Fig 1. There are even cases where the alias frequency can be used to advantage; that will be discussed later in the article.

위신호는 왜곡(distortion), 불필요한 지속잡음(beat notes) 그리고 가짜 기생신호(spurious image)의 원인이 된다. 다행히 위신호가 어떤 주파수에서 나타날지는 예측가능하므로 적절한 저역 통과 필터(LPF)나 대역 필터(BPF, Band-Pass Filter)를 사용하여 방지할 수 있다. [주파수의 변동이 전혀 없는 이상적인 사인파 신호는 실제로 존재하지 않는다. 어떤 경우든 위신호가 불가피하다는 사실을 알고 있으므로 반드시 통과 필터를 활용하여 예방 해야 한다.] 그림 1에 보인 것처럼 위신호를 제거하려는 목적의 필터를 에일리어싱 방지 필터(Anti-Aliasing filter)라한다. 위신호가 꼭 나쁜것 만은 아니며 적절히 활용됐을 때 잇점도 있다. 이에 대해서는 나중에 다시 다뤄 보기로 한다. [참조: 위신호 제거]

This is the point where most texts on DSP go into great detail about what sampled signals look like above the Nyquist frequency. Since the goal of this article is practical implementation, I refer you to Chapter 3 of the DSP Guide for a more in-depth discussion of sampling, aliases, A-to-D and Fig 1—A/D conversion with antialiasing low-pass filter. Jul/Aug 2002 15 D-to-A conversion. Also refer to Doug Smith’s article, “Signals, Samples, and Stuff: A DSP Tutorial.”1

많은 교과서에서 상당 분량을 할애하여 나이퀴스트 주파수 조건을 벗어난 신호를 샘플 했을때 어떤 현상이 나타날지 설명하고 있다. 하지만 이 글은 [이론이 아닌] 실제 구현을 다룰 목적이므로 자세히 알고 싶다면 DSP 가이드(DSP Guide)를 참고하기 바란다. 샘플링과 위신호 그리고 아날로그-디지털 변환기(ADC) 그리고 그림 1에서 보인 것처럼 위신호 제거를 위해 저역 통과 필터를 사용해야 하는 이유를 상세히 다루고 있다. 아울러 더그 스미스(Doug Smith)의 기사 "Signals, Samples, and Stuff: A DSP Tutorial"도 참고하기 바란다.

What you need to know for now is that if we adhere to the Nyquist criterion in Eq 1, we can accurately sample, process and recreate virtually any desired waveform. The sampled signal will consist of a series of numbers in computer memory measured at time intervals equal to the sampling rate. Since we now know the amplitude of the signal at discrete time intervals, we can process the digitized signal in software with a precision and flexibility not possible with analog circuits.

지금은 그냥 식 1(Eq 1)의 나이퀴스트 샘플 주파수 기준을 따르면 제대로 파형을 샘플링하고 처리할 수 있으며 다시 원 신호를 복원해 낼 수 있다고 받아들이기로 하자. 샘플한 신호는 등간격의 시간 마다 취한 일련의 숫자들로 컴퓨터 메모리에 저장된다. 시간 간격을 두고 진폭을 측정하여 숫자화 했기에 소프트웨어(컴퓨터 프로그램)으로 상당한 정밀도를 가지고 계산해 낼 수 있고 아날로그 회로에서는 불가능한 유연성을 가질 수 있다.

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<계속>