[HAM] 직교위상 신호(Quadrature Signals)는 복잡하지 않다. 복합적 일 뿐, (4/5)

[HAM] 직교위상 신호(Quadrature Signals)는 복잡하지 않다. 복합적 일 뿐, (4/5)

A Quadrature Signals Tutorial: Complex, But Not Complicated
by Richard Lyons
[ 원본출처: https://dspguru.com/dsp/tutorials/quadrature-signals/ ]

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주) 아래 번역 중 [] 안의 내용은 제가 부연설명 삼아 추가한 것입니다. 틀릴 수 있으니 미리 양해를 구합니다. 오류나 미진한 부분이 있다면 기탄없는 지적 바랍니다. -역자-
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<이전>

Bandpass Quadrature Signals In the Frequency Domain

주파수 영역에서 대역통과 직교위상 신호

In quadrature processing, by convention, the real part of the spectrum is called the in-phase component and the imaginary part of the spectrum is called the quadrature component. The signals whose complex spectra are in Figure 11(a), (b), and (c) are real, and in the time domain they can be represented by amplitude values that have nonzero real parts and zero-valued imaginary parts. We're not forced to use complex notation to represent them in the time domain—the signals are real.

직교위상 처리에서 의례 스펙트럼의 실수부를 정위상이라고 불렀고 직교위상 성분으로 나타난 허수부는 상쇄 시켰다. 그림11의 (a), (b) 그리고 (c)에서 보듯이 실제 신호들의 스펙트럼은 복소수로 표현된다. 이 실제 신호들도 따지고 보면 복소수라고 할 수 있는데 0이 아닌 실수의 진폭을 가진 실수부와 진폭이 0인 허수부로 표현된 것이라 하겠다. 시간 영역에서 신호를 허수를 가진 복소수로 표현할 필요는 없다. 실제 신호는 실수부만 가진다 [수체계에서 실수체계보다 복소수 체계의 범위가 넓다. 실수체계는 허수부분이 0인 복소수와 같다.]  

Real signals always have positive and negative frequency spectral components. For any real signal, the positive and negative frequency components of its in-phase (real) spectrum always have even symmetry around the zero-frequency point. That is, the in-phase part's positive and negative frequency components are mirror images of each other. Conversely, the positive and negative frequency components of its quadrature (imaginary) spectrum are always negatives of each other. This means that the phase angle of any given positive quadrature frequency component is the negative of the phase angle of the corresponding quadrature negative frequency component as shown by the thin solid arrows in Figure 11(a). This 'conjugate symmetry' is the invariant nature of real signals when their spectra are represented using complex notation.

실제 신호는 주파수 스펙트럼에서 항상 양의 주파수와 음의 주파수를 가진다. 실제 신호의 경우 정위상 스펙트럼의 음과 양의 주파수 성분은 주파수 0을 중심으로 대칭이다. 이 말인 즉슨 음과 양의 주파수에 해당하는 성분이 서로 거울상이라는 뜻이다. 이와 달리 직교위상 스펙트럼의 음과 양의 주파수 성분은 항상 서로 반대다. 그림 11의 (a)에서 보듯이 실제 신호 cos(2πf_0t + φ)를 주파수 스펙트럼으로 표현하면 음과 양의 주파수 성분을 갖는데 정위상(in-phase)의 실수부는 흐린 화살표로 대칭이며 직교위상의 허수부는 진한 화살표로 대칭 위치에 역(negative)으로 나타난다. 양의 주파수 f_0 에서 위상 φ은 양의 값이며 음의 주파수 -f_0 에서 위상은 -φ다. 이 두 음과 양의 주파수에서 총 스펙트럼 성분은 파란 화살표와 같이 실수부와 허수부 성분을 가진 복소수로 표현된다[시간 영역에서 실수부로 만 표현되는 실제 신호가 스펙트럼 영역에서 복소수가 된 이유는 바로 실제 실호에 있었던 위상 φ 때문인데 이를 2πf_0t 에 대한 상대 위상(relative phase)이라 한다.]

Figure 11. Quadrature representation of signals: (a) Real sinusoid cos(2fot + ), (b) Real bandpass signal containing six sinusoids over bandwidth B; (c) Real bandpass signal containing an infinite number of sinusoids over bandwidth B Hz; (d) Complex bandpass signal of bandwidth B Hz.

Let's remind ourselves again, those bold arrows in Figure 11(a) and (b) are not rotating phasors. They're frequency-domain impulse symbols indicating a single complex exponential e^(j2πft). The directions in which the impulses are pointing show the relative phases of the spectral components.

그림 11의 (a)와 (b)에 표시된 굵은 화살표들은 회전하는 페이저가 아니라는 점을 기억해 두자. 이들은 주파수 영역의 임펄스 기호들로 화살표 하나마다 복소 지수함수 e^(j2πft)를 나타낸다[그림 11(b)에 여러개의 화살표가 있다. 지수부의 f는 고정된 f_0가 아니라 주파수가 다른 여러개 신호를 표시한다.] 화살표가 가리키는 방향은 스펙트럼 성분의 상대 위상(relative phase)을 보여준다.

There's an important principle to keep in mind before we continue.

이야기를 더 진행하기 전에 주파수에 관한 중요한 원리[mixing, 주파수 섞기]를 기억해 두기바란다.

Multiplying a time signal by the complex exponential e^(j2πf_0t), what we can call quadrature mixing (also called complex mixing), shifts that signal's spectrum upward in frequency by f_0 Hz as shown in Figure 12 (a) and (b). Likewise, multiplying a time signal by e^(-j2πf_0t) shifts that signal's spectrum down in frequency by f_0 Hz.

시계열 신호 x(t)에 복소지수 e^(j2πf_0t)의 곱을 직교위상 신호섞기(quadrature mixing) 또는 복소신호섞기(complex mixing)라고 하는데 신호 x(t)의 주파수를 그림 12의 (a)와 (b)처럼 f_0 Hz만큼 이동시킬 수 있다[시계열 신호 x(t)는 여러 주파수 성분의 신호가 합쳐진 복합 신호로써 그림 11(b) 처럼 여러개의 화살표로 표시된다.] 유사한 방법으로 시계열 신호 x(t)에 e^(-j2πf_0t)를 곱하면 f_0 Hz 만큼 신호의 스펙트럼을 아래로 내린다.

Figure 12. Quadrature mixing of a signal: (a) Spectrum of a complex signal x(t), (b) Spectrum of x(t)e^(j2πf_0t), (c) Spectrum of x(t)e^(-j2πf_0t).

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<계속>