"초 노인"
삶도 양과 질의 균형을 따지는 시대가 되었습니다. 천수를 다 할 때까지 몸도 마음도 그리고 정신도 건강하고 싶은 바램이 있습니다. 기대수명이 늘긴 했지만 "치매"에 대한 불안은 쉽게 떨칠 수 없나 봅니다. 의학이 발달해도 아직 이렇다 할 대책이 있는 것 같지 않더군요. 손댈 수 없는 정신의 병이라 그런 걸까요. 치료보다는 예방이 중요하다고 합니다. 왕성한 지적 활동이 치매의 예방책이 될 수 있을 것이라 합니다. <과학과 사람들>의 팟 캐스트 최신 편(S3E09)에 "초 노인(Super Ager)"이 소개 되었습니다. 왕성하게 활동하는 노인들을 의학적으로 관찰(FMRI 촬영) 했더니 뇌 구조가 상당히 달랐다고 합니다. 뇌의 특정 부분이 보통 사람과는 다르게 발달 되어 있더랍니다. 그런 범상치 않은 두뇌 발달은 상당한 수준의 지적, 신체적 활동을 지속해온 결과라네요. 그러고 보니 많이 듣던 이야기 같네요. "고스톱"을 친다거나 "수도구"를 풀며 뇌를 유연하게 풀어주면 치매를 예방한다고 하죠. 그런데, 여든이 넘어서도 학술논문을 쓰거나 현역 카드 게임 선수로 활약하는 "초 노인"들의 두뇌 활동은 이런 헐렁한 머리쓰기와는 비교도 되지 않을 정도의 높은 수준이었다고 합니다. 이는 마치 강도 높은 운동을 해야 근육이 생기듯이 두뇌도 "치매"를 예방할 목적 이라면 고되게 단련 해야 한답니다. 두뇌도 쓸만 할 때 단련해 둬야 겠습니다. 삼육구나 구구단 외우는 정도 가지고는 치매 예방에 한참 미흡하고 적어도 미적분II 정도는 풀어 줘야 두뇌 좀 쓰는 구나 할 것입니다. 그래서, 모처럼 머리에 땀 좀 흘려 보기로 하고 문제 하나를 풀어 보기로 합니다.
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[문제] 다음과 같은 함수 f(x)와 자연수 n에 대하여,
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수학도 "심리"다.
2015년 수능 문제라고 하는데 언뜻 보기에 좀 심란하긴 합니다. 하지만 요모조모 뜯어보면 모양만 요란 할 뿐이란 걸 알게 될 겁니다. 그래봐야 고등학교 수준의 수학인걸요. 경제는 "심리"라고 한다지만 사실 수학도 "심리"가 반은 먹고 들어갑니다. 제아무리 문과 출신 이라거나 너무 오래됐더라도 문제에 제시된 수식에 포함된 글자를 모르진 않을 겁니다. 그것들이 합쳐져 있어서 어리둥절 해졌을 뿐입니다. 문제를 헤쳐 나가기 전에 가장 먼저 할 일은 상황 판단이죠. 도데체 저 문제에서 풀라는게 뭘까요. 수식을 주긴 했는데 값을 구하라는 것은 아닌가 봅니다. 이번 문제도 사칙연산과 약간의 수학적 배경만 가지고 시작합니다.
함수를 보는 안목
[문제]에서 함수가 두개 주어 졌습니다. 그리고 g(x)나 f(x)나 모두 x의 함수 군요. 게다가 g(x)는 순전히 f(x)만을 활용하여 곱하고 더하고 빼고 있습니다. 두개의 함수가 주어 졌지만 사실은 한개 입니다. 굳이 f(x)를 g(x)에 대입하여 풀어 놓으면 아래처럼 되겠지요.
하지만 수식을 복잡하게 늘어 놓아 봐야 다루기 만 어려워 집니다. 공용 부분은 작은 단위로 치환하여 각개격파로 접근하는 것이 문제를 풀 때 유리합니다. 함수 g(x)는 함수 f(x)의 절대값 만을 이용하고 있군요. 그렇다면 f(x)를 이해하고 절대값을 씌워 놓으면 뭐가 달라지는지 보기로 합니다. 함수를 표기할 때 수식내에 변하는 것(입력)이 무엇인지 지정하게 되어 있습니다. 변하는 것이 최소한 한개는 있어야 일반적으로 함수라고 할 수 있죠. 변하는 것이 없으면 상수죠. 물론 상수도 큰 범위에서 특별한 함수의 하나이긴 합니다.
f = y^x 라는 수식이 있다고 합시다. y와 x 중 변수가 무었인지 지정되어 있지 않죠. 기호로 써있다고 모두 변수라는 뜻은 아닙니다. x와 y 가 모두 변수일 수도 있습니다. 변하는 것이 한개 씩 늘어나도 엄청나게 복잡해 질 수 있습니다. 함수 표기법에서 변수를 괄호 안에 지정하게 되어 있으므로 f(x,y) = x^y 라고 합니다. 겨우 변수 두개가 곱으로 엮여 있어도 다루기 어렵습니다. 컴퓨터의 도움을 받아 그림으로 그려보면 이렇습니다.
[그림] f(x,y) = x^y
변하는 것 2개(x 와 y)가 각각 한개의 축을 차지하고 곱한 결과 f(x,y)는 두 변수에 따라 변화 하므로 또 다른 한 축(z)을 이루는 3차원의 공간에서 그림을 그리게 됩니다. 만일 변수 세개가 엮여 있다면 x, y, z와 f(x,y,z)까지 4개의 축이 필요 하겠지요. 4차원은 그림으로 그릴 수 없습니다. 그냥 상상 속에서나 그려볼 수 있으려나요? 3차원의 공간에 시간이라는 변수를 추가한 4차원의 상대론 세계를 이해하기 어려운 것은 당연합니다. 실은 익숙하지 않은 탓도 있을 겁니다. 더욱 놀라운 것은 함수를 모르고 시작 한다는 것이지요. 앞서 그림 그리기는 x와 y의 변수외에 z 축은 알려진 함수의 계산된 값입니다. 말하자면 한 축은 거져 먹은거나 마찬가지죠. 그런데 3차원 공간에서 제멋대로 인 듯이 움직이는 값(현상)으로부터 함수(규칙)를 추론해 낸다는 것은 만만한 일이 아니겠지요. 하물며 상상하기도 힘든 4차원 공간에서 현상을 상상해 내고 그로부터 규칙을 찾아내다니요. 상대론을 만들어낸 이들은 정말 천재입니다!
y가 변수이고 x가 상수 라고 합시다. 함수 표기는 f(y) = x^y 가 됩니다. 일예로 x=2라면 f(y)는 밑이 2인 y의 지수함수 입니다. 1보다 큰 수를 거듭 제곱 하면 점점 커지겠지요. 지수의 0제곱은 1로 정의 합니다. 가로축을 y라 하고 세로축이 f(y) 입니다. 그래프의 가로축이 항상 x 일 필요는 없습니다.
[문제]에서 f(x)에서 밑이 e 라고 표시되어 있는데 1보다 큰 수 입니다. 잘 알고 있는 원주율 파이(pi)와 같은 무리수의 하나입니다. 정수의 비로 표기할 수 없는 실수를 "무리수"라고 합니다. "정수의 분수로 표기할 수 없다"는 것은 소숫점 아랫 부분이 반복되지도 않다는 것입니다. 0.75는 3/4로 정수비로 나타낼 수 있는 유리수 입니다. 소수점 이하가 0.3333333......으로 3이 끝이 없이 반복되지만 1/3로 정수의 분수로 나타낼 수 있는 유리수 입니다. 원주율은 3.141592653589795898..... 로 반복도 없이 주기성도 없이 끝도 없이 이어져 정수의 분수로 나타 낼 수 없는 무리수 입니다. 지수 e 도 2.71828182845904.... 로 이어지는 무리수 입니다. 무리수 e는 수학은 물론 물리학을 비롯하여 모든 자연과학에서 원주율보다 더 많이 쓰입니다. 2^x 라거나 (pi)^x처럼 e^x도 그런 지수함수로 익숙해져 봅시다.
무리수 e의 정의
원주율(pi)보다 더 널리 쓰이는 무리수 e는 어떻게 나온 걸까요. 지수에서 밑이 1보다 크면(x>1) 거듭 곱할 수록 증가합니다. 반대로 0보다 크고 1보다 작은 수(0<x<1)의 거듭 제곱은 감소하죠. 이런 지수 함수의 특징을 살려 이런 계산을 해보죠.
아직 극한값에 대하여 익숙하지 않으니 일단은 정성적(삶의 경륜으로 수학을 바라보는 겁니다!)으로 이해해 봅시다. 첫번째 정의는 x가 0에 접근 하는 경우 입니다. 어쨌든 (1+x)는 1보다 큽니다. 그리고 1/x는 무한히 커질 겁니다. 1을 무한히 제곱해도 1이지만 1보다 아주 조금이라도 큰수를 무한 제곱하면 점점 커지겠지요. 1에 접근시키면서(하지만 1보다 크다) 무한히 제곱을 하면 특정한 수에 수렴합니다. 그 값이 무리수 e로 2.71..... 쯤 됩니다. 두번째 정의는 x가 무한히 커지는 경우 입니다. (1+1/x)의 극값은 1에 접근합니다. 1에 접근시키면서 무한히 제곱을 하면 역시 무리수 e에 수렴 합니다.
지수와 로그
지수는 곱셈일 뿐입니다. 자기 자신을 반복적으로 곱하는 것입니다. 1보다 큰 수를 반복적으로 곱하면 증가세는 엄청나게 가파릅니다. 0보다 크고 1보다 작은 수를 반복적으로 곱하면 완만하게 0에 접근 합니다.
만일 0보다 작은 수(음수)를 제곱하면 음수와 양수를 왔다 갔다 합니다. 정수배 하면 그렇다 하지만 음수의 0.5 제곱은 음수의 제곱근으로 실제하는 수가 아닙니다. 따라서 지수 함수의 밑은 0보다 커야 합니다.
로그는 지수의 역함수 관계에 있다고 합니다. 역함수란 그냥 정의역과 치역을 바꿔 놓은 겁니다. x와 y의 함수 그래프에서 x와 y를 맞바꿔 놓은 겁니다.
지수함수와 로그 함수는 정의역과 치역에 제한이 있다는 것을 알아두어야 합니다. 그래프를 보면 명백한데, 지수 함수의 정의역(x 축)의 범위는 모든 실수, 치역(y 축)은 양의 실수가 됩니다. 로그 함수의 경우 정의역(x축)은 양의 실수, 치역(y축)은 모든 실수 범위 입니다. 두 함수 모두 밑은 음수가 되면 않됩니다. 위의 그래프를 보며 진수와 밑의 조건을 이해해 보십시요.
지수 로그 활용
2의 5제곱은 지수계산, 256이 2의 몇제곱인지 알고 싶으면 로그계산을 해봅니다.
지수와 로그 계산을 할 때는 밑을 꼭 맞춰줘야 합니다. 이진수 1011과 10진수 100을 더한다고 1011 + 100 = 1111 라고 할 수 없는 것과 같습니다. 지수와 로그를 활용하면 곱셉과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 할 수 있습니다. 아무래도 곱셈보다 덧셈이 수월해 지겠지요. 로그 성질을 보여주는 부등식 문제 한개 풀고 가실께요.
실험 측정치, 관측치를 그래프에 그려 놓을 때 로그 눈금(Log scale)을 사용하는 경우가 많습니다. 자연 현상을 기록해 보면 측정치의 증가나 감소분이 직선적이지 않음을 알 수 있습니다. 사람의 감각도 로그 단위로 변해야 인지한다고 합니다. 온도 20도에서 1도 올린 21도와 2도올린 22도를 온도 증가분이 두배라고 인지하지 못합니다. 변화를 인지하려면 상당량의 변화가 있어야 한답니다. 소리의 세기를 측정 할 때 데시벨이라는 단위를 사용하는데 크기의 배율을 로그로 계산한 겁니다.
별의 밝기를 표현 할 때도 로그 눈금이 사용됩니다. 별의 밝기 측정은 사진을 찍어 건판에 와 닫는 빛 에너지 량의 합을 계산하면 됩니다. 디지털 시대이니 만큼 에너지 계산하기는 더욱 수월 합니다. 별 상이 찍힌 디지털 사진에서 픽셀마다 밝기를 모두 더하면 되겠지요. 밝은 별에서 어두운 별로 순서를 정해 보면 거의 대부분 어두운 쪽에 몰려 있습니다. 실제로 밤하늘을 보면 밝은 별은 얼마 않되고 어두운 별 투성이 입니다. 밝기로 분류하기 위해 구간을 공평하게 분할 해서는 분류의 의미가 없겠습니다. 어두운 별 쪽을 좀더 세분하고 밝은 별은 성기게 세분 하는 것이 좋겠습니다. 수학적으로 차별화된 구획 짓기방법의 하나가 제곱입니다.
가장 밝은 별과 어두운 별을 5개 등급으로 분류하기로 하고 밝기는 100배라고 정합시다. 그리고 등급간 밝기 차를 배율로 정합니다. x를 등급간 차이를 나타낸다고 하면 균등 분할에서는 x = 100/5 모든 구간의 간격이 20이라는 뜻입니다. 배율로 하면 5^x=100 으로 x=2.501... 입니다. 4등급은 5등급보다 2.5배 밝습니다. 3등급은 4등급 보다 2.5배 밝습니다. 0등급은 1등급 보다 2.5배 밝습니다. 0등급은 결국 5등급보다 2.5^5 배 밝습니다. 선형 눈금의 y축의 지수함수 그래프를 로그 눈금 그래프로 그리면 선형성을 발견 할 수 있음을 보여줍니다.
자연(우주)에서 발생하는 사건들은 선형적이지 않습니다. 이런 측정치를 그림으로 나타낼때 눈금을 로그 단위로 변형 시켜 놓기만 해도 뭔가 발견할 여지가 매우 높습니다. 그래프를 보기만 해도 마구 법칙이 떠오른다고 합니다. 물론 영특한 사람들에게 말이죠. H-R도도 밝기를 선형적 눈금으로 봤다면 극단적인 모습이었을 겁니다. 로그 눈금으로 펼쳐 놓으니 뭔가 형태도 보이고 그랬던 거죠.
지수와 로그의 관계를 활용하면 아래와 같은 계산도 가능합니다. 분수식을 적당히 주무르고 무리수 e의 정의를 활용하여 계산과정을 이해할 수 있을 겁니다. 사실 이런 문제를 풀때 척보고 이리저리 치환하고 분수함수를 정리할 요령을 부려 볼 엄두를 내는 것은 훈련과 경험에서 생겨난 "요령" 같은 겁니다. 수학적 재능이라고 생각되진 않습니다.
만일 0보다 작은 수(음수)를 제곱하면 음수와 양수를 왔다 갔다 합니다. 정수배 하면 그렇다 하지만 음수의 0.5 제곱은 음수의 제곱근으로 실제하는 수가 아닙니다. 따라서 지수 함수의 밑은 0보다 커야 합니다.
로그는 지수의 역함수 관계에 있다고 합니다. 역함수란 그냥 정의역과 치역을 바꿔 놓은 겁니다. x와 y의 함수 그래프에서 x와 y를 맞바꿔 놓은 겁니다.
지수함수와 로그 함수는 정의역과 치역에 제한이 있다는 것을 알아두어야 합니다. 그래프를 보면 명백한데, 지수 함수의 정의역(x 축)의 범위는 모든 실수, 치역(y 축)은 양의 실수가 됩니다. 로그 함수의 경우 정의역(x축)은 양의 실수, 치역(y축)은 모든 실수 범위 입니다. 두 함수 모두 밑은 음수가 되면 않됩니다. 위의 그래프를 보며 진수와 밑의 조건을 이해해 보십시요.
지수 로그 활용
2의 5제곱은 지수계산, 256이 2의 몇제곱인지 알고 싶으면 로그계산을 해봅니다.
지수와 로그 계산을 할 때는 밑을 꼭 맞춰줘야 합니다. 이진수 1011과 10진수 100을 더한다고 1011 + 100 = 1111 라고 할 수 없는 것과 같습니다. 지수와 로그를 활용하면 곱셉과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 할 수 있습니다. 아무래도 곱셈보다 덧셈이 수월해 지겠지요. 로그 성질을 보여주는 부등식 문제 한개 풀고 가실께요.
실험 측정치, 관측치를 그래프에 그려 놓을 때 로그 눈금(Log scale)을 사용하는 경우가 많습니다. 자연 현상을 기록해 보면 측정치의 증가나 감소분이 직선적이지 않음을 알 수 있습니다. 사람의 감각도 로그 단위로 변해야 인지한다고 합니다. 온도 20도에서 1도 올린 21도와 2도올린 22도를 온도 증가분이 두배라고 인지하지 못합니다. 변화를 인지하려면 상당량의 변화가 있어야 한답니다. 소리의 세기를 측정 할 때 데시벨이라는 단위를 사용하는데 크기의 배율을 로그로 계산한 겁니다.
별의 밝기를 표현 할 때도 로그 눈금이 사용됩니다. 별의 밝기 측정은 사진을 찍어 건판에 와 닫는 빛 에너지 량의 합을 계산하면 됩니다. 디지털 시대이니 만큼 에너지 계산하기는 더욱 수월 합니다. 별 상이 찍힌 디지털 사진에서 픽셀마다 밝기를 모두 더하면 되겠지요. 밝은 별에서 어두운 별로 순서를 정해 보면 거의 대부분 어두운 쪽에 몰려 있습니다. 실제로 밤하늘을 보면 밝은 별은 얼마 않되고 어두운 별 투성이 입니다. 밝기로 분류하기 위해 구간을 공평하게 분할 해서는 분류의 의미가 없겠습니다. 어두운 별 쪽을 좀더 세분하고 밝은 별은 성기게 세분 하는 것이 좋겠습니다. 수학적으로 차별화된 구획 짓기방법의 하나가 제곱입니다.
가장 밝은 별과 어두운 별을 5개 등급으로 분류하기로 하고 밝기는 100배라고 정합시다. 그리고 등급간 밝기 차를 배율로 정합니다. x를 등급간 차이를 나타낸다고 하면 균등 분할에서는 x = 100/5 모든 구간의 간격이 20이라는 뜻입니다. 배율로 하면 5^x=100 으로 x=2.501... 입니다. 4등급은 5등급보다 2.5배 밝습니다. 3등급은 4등급 보다 2.5배 밝습니다. 0등급은 1등급 보다 2.5배 밝습니다. 0등급은 결국 5등급보다 2.5^5 배 밝습니다. 선형 눈금의 y축의 지수함수 그래프를 로그 눈금 그래프로 그리면 선형성을 발견 할 수 있음을 보여줍니다.
지수와 로그의 관계를 활용하면 아래와 같은 계산도 가능합니다. 분수식을 적당히 주무르고 무리수 e의 정의를 활용하여 계산과정을 이해할 수 있을 겁니다. 사실 이런 문제를 풀때 척보고 이리저리 치환하고 분수함수를 정리할 요령을 부려 볼 엄두를 내는 것은 훈련과 경험에서 생겨난 "요령" 같은 겁니다. 수학적 재능이라고 생각되진 않습니다.
함수의 평행이동과 절대값
함수의 축(변수)에 상수 값을 더하거나 뺄 경우 평행이동 됐다고 합니다. 빼기는 양의 방향으로 더하기는 음의 방향으로 이동 하는 셈입니다. f(x)를 y축이라고 합시다. f(x) = e^(x+1) - 1은, y+1 = e^(x+1) 과 같지요. 따라서 함수 f(x)는 e^x 를 y 축으로 -1, x 축으로 -1 만큼 평행 이동 한 것 입니다.
"절대값"의 세계에서는 음수는 허용되지 않습니다. 어찌하다가 음수가 나오면 -1을 곱해서 양수로 만들어 줘야 합니다. "만일~이면"이라는 서술은 수리적인 표현이 아니라서 항상 양수만 존재하도록 만들기 위한 방법으로 제곱을 취하기도 합니다. 쌍곡선 방정식을 유도할 때 다뤄본 적이 있습니다. 제곱을 취하기가 여의치 않을 때도 있습니다. 제곱으로 감당하기 어렵게 변해 버리기도 하고 제곱을 원래대로 되돌리기 위해 제곱근을 구하는 것이 지난할 수 있습니다. 이번 [문제]에서 함수 f(x)의 꼴을 보니 제곱해서는 감당이 어렵겠습니다. 게다가, 나중에 살펴보겠지만 이 문제는 음수와 양수의 경계점이 중요한 의미를 가지고 있기 때문에 덮어놓고 제곱을 취할 것은 아닙니다. 형편에 따라 어떤 조치를 취할지 판단하는 것도 경험에서 나오는 수학적 역량입니다. [문제]에서 함수 g(x)는 절대값을 취한 f(x)를 활용하고 있습니다. 이제 그래프로 이 함수의 개형을 살펴 보도록 합시다.
절대값 함수 |f(x)|는 f(x)가 음수가 되는 부분(점선으로 표시됨)에 한하여 -1을 곱해 줌으로서 양수로 전환시킨 겁니다. 이렇게 꺽어 놓으니 x=-1인 지점이 특이하군요. 그냥 봐도 뾰족 한게 범상치 않습니다. 수학적으로 "범상치 않음"을 밝혀낼 수 있을까요? [문제]로 돌아가 봅시다.
"g(x)가 실수 전체 집합에서 미분 가능할 때, 모든 자연수 n의 값의 합을 구하시오."
기울기, 순간 기울기 그리고 미분
[문제]의 서술에서 뭔가 구하긴 구하라는데 함수 g(x)가 "미분가능"해야 한다는 조건이 붙어 있습니다. "미분"이란 기울기를 구하는 겁니다. 그것도 순간적인 기울기죠. (x,y) 좌표계에서 기울기는 x의 변화량 분에 y의 변화분을 나타낸 겁니다. 순간적인 기울기란 분모의 x 변화가 매우 작을 때(극단 적으로 0으로 보낼 때) 분자인 y의 변화를 구하는 겁니다.
함수 f(x)란 x 축의 값을 받아 y 축의 값을 내놓는 변환기를 뜻합니다. 한 x 값에 대한 함수의 출력 y 값은 유일해야 합니다. 함수의 가장 기본적인 조건이기도 합니다. 일대일 함수, 다대일 함수는 가능 하지만 일대다의 대응은 함수가 아닙니다. 유일해야 하는 것이 또 있으니 순간 기울기(또는, 도함수) 입니다. 부드러운 곡선이나 직선의 경우 한 x 값에서 가질 수 있는 기울기가 유일 해야 한다는 것이다.
가장 간단한 직선의 예를 들어 기울기와 순간 기울기를 이해해 봅시다. 함수 f(x) = 2x+3가 있습니다. x=4일때 y=f(4)로서 y 값은 11로 유일합니다. x=4인 지점에서 기울기를 구할 수 있습니다. 미세한 변화를 한 0.1이라고 해두죠. x=4를 중심으로 오른쪽 편의 기울기를 구해보면 2입니다. 이번에는 왼편에서 기울기를 구해보죠. 역시 2가 되겠군요. 미세 변화를 점점더 줄여서 0에 가깝게 가면 다면 기울기는 어떻게 될까요. 극한 값을 구해 봅니다.
한 점을 기준으로 왼편의 기울기와 오른편의 기울기는 같지 않을 수 있습니다. 하지만 양편에서 극한으로 간격을 줄여와 한점에서 만나는 지점의 기울기가 같을 때 "미분가능"하다고 하며, f(x)는 연속이라고 합니다. 2차함수 f(x) = x^2 + 1 가 있습니다. x=0을 기준으로 왼편의 기울기(m2<0)와 오른편의 기울기(m1>0)는 부호가 다릅니다. 하지만 양편에서 한없이 0으로 접근하면서 기울기(m0, 좌우 극한값)는 0으로 같아집니다.
곡선에서 순간 기울기가 0인 점을 극점(극대 혹은 극소)이라고 합니다. 그림으로 보면 위로 볼록한 곡선의 정점 혹은 아래로 오목한 곡점에 해당하는 것으로 극점의 양측으로 기울기의 부호가 바뀌는 점이기도 합니다. 극점(극대 혹은 극소)의 기울기가 0이라는 사실은 각종 방정식을 풀때 그래프의 개형을 파악 할 때 매우 유용합니다. 미분을 이용해 2차 방정식의 판별식을 유도해 봅시다. 극점에서 기울기가 0이라는 점을 이용합니다.
앞서 배웠던 미분법을 외워 두면 매번 이렇게 극한 값을 구하는 수고를 덜수 있습니다.
극점에서 기울기가 0이라는 사실을 이용해서, 극점의 x 좌표를 구하고 이를 f(x)에 대입하여 극점의 y 값을 구합니다.
D를 판별식이라고 합니다. D 에 대해 세가지 경우가 있는데 각각 2차 방정식이 근을 가질 조건을 알려 줍니다.
미분 가능과 불가능
간단한 함수 f(x)=2x+3에 절대값을 적용해 봅시다. x=4에서 함수 f(x)의 절대값은 여전히 연속입니다. 하지만 기울기가 꺽이는 x=-3/2에서도 연속이 될까요? 순간 기울기를 구해 봅니다. x=-3/2의 왼편에서 접근할 때 적용할 함수와 오른편에서 접근할 함수가 다를 뿐만 아니라 극한값도 다릅니다. 결국 x=-3/2에서 두개의 순간 기울기 값이 나왔다는 것이지요. 이는 한 정의역(x 값)에 대응되는 치역은 유일해야 한다는 함수(도함수)의 정의에 위배된 것입니다. 이를 두고 절대값 함수 |f(x)|는 x=-3/2에서 "불연속", "해석불가" 또는 "미분불가능"이라고 합니다.
좀더 복잡한 함수를 보죠. [문제]의 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 "미분가능" 할까요? 먼저 지수 함수인 f(x)의 도함수를 구해 봅니다. 지수 함수의 미분 공식을 모르고 있다고 가정하고 도함수(미분)의 정의로 부터 시작해 봅니다. 미분은 기울기의 극한값으로 정의됩니다.
함수 f(x)를 미분 정의에 적용해 봅니다.
[그림] 미분의 정의를 이용한 f(x)의 도함수 구하기
함수 f(x)의 도함수를 구하는 과정에서 지수의 연산 법칙이 적용 되었습니다. 밑이 같은 경우 곱셈은 지수끼리 덧셈과 같습니다. 맨 마지막이 생소하죠. 하지만 이미 무리수 e의 정의를 다룰때 시험 삼아 풀어 봤었지요.
이제 [문제]의 함수 f(x)의 절대값을 씌우면 미분 불가능 한 지점이 있는지 봅시다. 특이점 x=-1에서 좌우 극한 값이 일치하면 미분 가능합니다.
[그림] |f(x)|
x=-1에서 |f(x)|의 의 우극한,
x=-1에서 |f(x)|의 의 좌극한,
위와 같이 좌우 극한을 일일이 계산 할 필요 없이 미분 식을 구하여 값을 대입하면 시간을 절약 할 수 있습니다.
좌우 극한 값이 다르므로 x=-1에서 불연속하며 미분 불가능 합니다.
지수 함수의 미분법
앞서 고차항의 미분법은 이미 알고 있습니다. 이번에는 지수함수의 미분법을 알아봅시다. 가장 중요한 수학의 발견 다섯가지를 뽑으라면,
1. 덧셈(뺄셈)의 정의와 곱셈법의 발명(구구단 착안)
2. 직각 삼각형의 정의와 피타고라스 정리
3. 원주율 pi 의 발견(모든 원은 반경과 둘레의 비율이 2pi로 항상 일정하다)
4. 무리수 e 의 발견
5. 허수 i 의 정의
원주율 pi와 무리수 e의 발견(발명?)처럼 강력한 것은 또 없을 것입니다. 무리수로서 갖는 의미는 정의된 개념으로부터 파생된 수많은 원리들에 비하면 아주 단편 적이라 하겠습니다. 실제로 수학을 다룰 때 pi 값이 얼마인지, e 값이 얼마인지 잘 따지지도 않죠. 원주의 주기성에서 주기함수, 삼각함수의 정의, 파동 방정식에 이르기 까지 시작은 원주율 pi의 정의 였습니다. 무리수 e를 오일러 상수라 하는 것을 보니 16세기 쯤 되는 것 같으니 아르키메데스 상수라 불리는 pi에 비하면 최근이라고 할 겁니다.
원주율: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8
e가 없으면 미적분도 없습니다. e가 없으면 방정식 풀이도 없습니다. e 는 온세상에서 발생하는 모든 현상을 해석하는 강력한 도구 입니다. 그 강력함을 보여주는 단서의 하나가 e 를 밑으로 하는 지수함수의 미분 입니다. 지수 함수는 미분 하면 그대로 지수함수가 됩니다. 반대로 적분하면 그대로 지수함수입니다. 뭔가 강력한 "포쓰"가 느껴지지 않습니까. 무슨짓을 해도 지수함수는 끄덕 없습니다. 나중에 물리를 배울 때 미분 방정식을 세우고 이를 풀어볼 기회가 있을 겁니다. 미분 방정식을 푼다는 것은 적분한다는 겁니다. 그런데 제아무리 연거퍼 미분을 하고 적분을 해도 지수함수는 그대로 입니다.
지수 함수가 이렇게 막강할 수 있었던 것은 무리수 e의 정의 덕분입니다. 이와 비슷한 성질로 삼각 함수가 있습니다. 싸인 함수는 미분하면 코싸인 함수가 됩니다. 코싸인 함수는 미분하면 싸인 함수가 됩니다. 코사인(사인)함수를 두번 연거퍼 미분하면 자기 자신으로 되돌아옵니다. 이 역시 미분 방정식을 푸는데 중요한 도구입니다.
미분의 연쇄 법칙(Chain Rule)
미분기호 (d/dx)는 그 자체로 연산자 입니다만 분수식 처럼 보일 때도 있습니다. 미분의 연쇄 법칙(Chain Rule)이라 합니다.
미분의 연쇄 법칙을 활용하면 합성 합수의 미분이 쉬워 집니다.
함수 그래프의 개형
함수의 그래프의 개략적 특징을 파악하면 여러가지 문제를 풀때나 결정을 내릴 때 결정적인 단서를 얻을 수 있습니다. 앞서 [문제]의 함수 f(x)의 그래프 개형을 살펴보면서 |f(x)|에 특이점이 있음을 알게 되었습니다. |f(x)|처럼 그래프의 개형만으로도 함수가 꺽이는 점이 분명한 경우 굳이 증명하지 않더라도 미분 불가능한 점이 있다고 판단할 수 있습니다. 이런 이유로 그래프의 개형을 정확히 파악하는 것은 매우 중요합니다. [문제]의 g(x)에 사용된 함수 |f(x)| 의 특징은 여러차례 살펴 봤으므로 이번에는 f(x^k)가 어떤 모양을 하는지 개형을 살펴보도록 합니다.
먼저 미분이 그래프의 개형을 살피는데 어떻게 활용 되는지 보겠습니다. 1차 미분으로 함수 그래프의 기울기 변화를 알 수 있습니다. 2차 미분으로 기울기 변화 함수의 변화를 알 수 있습니다. 3차 다항식이 있다고 합시다. 최대 3개의 해, 2개의 극점 그리고 1개의 변곡점을 가질 수 있습니다.
1차 미분으로 얻은 함수(1차 도함수)의 해가 함수의 극점의 x 좌표에 해당합니다. 이를 함수에 대입하면 y 값을 얻을 수 있습니다.
1차 미분으로 얻은 함수(1차 도함수)의 값이 양수인 x 구간에서 원 함수의 기울기는 증가 합니다. 음수인 x 구간에서는 감소합니다.
2차 미분으로 얻은 함수(2차 도함수)의 해가 함수의 변곡점 입니다. 이 점을 기점으로 기울기의 증가(혹은 감소)추세가 변합니다. 위의 그림에서 x0의 왼편은 기울기가 점점 감소 하다가 x0를 지나면서 기울기는 점점 증가합니다.
미분법을 활용하여 그래프 개형을 그려 보는 연습을 해봅시다. [문제]에서 주어진 함수로 약간 복잡해 보입니다. 함수의 입력이 단순히 x 가 아니고 x의 k제곱 이군요. k는 자연수라니 다행입니다. 정수 였다면 음수인 경우 양수인 경우 그리고 0인 경우를 모두 땨져봐야 했습니다.
미분을 하려는데 수식의 꼴이 조금 복잡하죠. 지수함수의 지수부 안에 다시 다항 함수가 들어가 있습니다. 지금까지 알고 있던 미분법은 두가지 였습니다. 고차 다항식과 지수함수의 미분법은 알고 있습니다.
그런데 f(x)는 이 두가지 양식의 수식이 역여 있습니다. 역인 것을 풀면 되죠. 이럴 때 치환기법이 제역활을 하죠.
치환한 함수를 각각 미분한 후 연쇄 법칙(chain rule)으로 합치면 됩니다.
연쇄 미분법이 이렇게 표시되기도 합니다. 마치 분수식인 것 처럼 보이지만 표기의 편의를 위한 것이지 실제로 분수식은 아닙니다. 미분 연산자 d/dx 는 어떤 함수를 x 에 대해 미분하라는 것입니다. 따라서 미분 될 함수는 x 의 함수라는 것을 암시합니다.
사실 경험이 쌓이면 이정도 미분은 굳이 치환하는 과정 없이 막바로 수행 할 수 있게 될 겁니다. 이제 f(x)의 미분 식을 구했으니 특이점과 대략적인 그래프의 모양을 추론해 봅시다. f(x)의 1계 도함수 f'(x)를 다시 봅시다.
도함수도 모양이 조금 심난 하군요. 하지만 도함수를 구한 이유가 함수의 곡선의 개요를 기울기로 파악하려는 것이었습니다. 즉, 도함수 값이 음의 범위인지 양의 범위인지 만 알아내면 됩니다. 두개의 곱으로 나눠 볼 수 있습니다. (A)는 지수함수, (B)는 고차함수 입니다. 지수함수 기억나죠. 지수함수는 모든 실수에 대하여 항상 양의 범위에 있습니다. 도함수의 (A)부분에서 지수부가 조금 복잡하긴 해 보이지만 실수인 것은 확실합니다. x가 실수면 실수에 실수를 곱하거나 더한 (x^k+1)도 항상 실수입니다. 따라서 (A)는 항상 양수 입니다. (B)부분은 어떤가요? x의 (k-1)제곱입니다. 제곱의 결과는 음수 혹은 양수가 될 수 있습니다. 만일 음수(x<0)를 짝수번 제곱하면 양수지만 홀수번 제곱하면 음수입니다. 따라서 f'(x)는 (k-1)가 홀수가 되거나 짝수가 되는 경우를 분리하여 기울기를 따져야 되겠습니다.
(1) (k-1)이 짝수 일때 (k는 홀수),
도함수 f'(x)의 (A)부분은 항상 양수이며 (B)도 역시 항상 양수입니다. 따라서 f'(x)는 극점인 x=0 양쪽으로 모두 기울기가 양수입니다. 기울기를 f(x)에 적용한 후 x가 각각 음의 무한대와 양의 무한대일 경우도 고려해야 합니다. x 가 양의 무한대 일때 f(x)도 무한대로 증가합니다. x 가 음의 무한대로 갈때 f(x)는 -1에 수렴한다. f(x)는 지수함수 입니다. 함수 f(x)는 y축과 x 축을 지납니다. 각 축에 대한 절편을 구해보면, x=0일때 f(0) = (e-1), f(x)=0일때 x=-1 입니다. k가 홀수 일때 함수 f(x)의 그래프 개형은 다음과 같습니다.
(2) (k-1)이 홀수 일때 (k는 짝수),
도함수 f'(x)의 (A)부분은 항상 양수이며 (B)는 x가 음의 구간에서 음수범위에, 양의 구간에서 양수 범위에 있습니다. 따라서 f'(x)는 극점인 x=0 의 음의 구간은 기울기가 음이며, 양의 구간에서 기울기도 양입니다. 기울기를 f(x)에 적용한 후 x가 각각 음의 무한대와 양의 무한대일 경우도 고려하면 x 가 양의 무한대, 음의 무한대 모두 f(x)도 무한대로 증가합니다.
이제 [문제]에서 요구한 대로 함수에 절대 값을 적용해 봅니다. 그래프의 개형을 보면 분명합니다. k가 짝수일때 f(x)는 항상 양수인데 비해 k가 홀수 일때 f(x)는 -1을 지나며 음수가 됩니다. 절대값을 취하면 꺽인점이 되므로 x=-1에서 미분가능하지 않습니다.
드디어 문제를 풀어보자.
문제에서 제시한 "미분가능"의 뜻을 이해하기 위해 먼길을 왔습니다. 함수 f(x)에 대하여 |f(x)|와 |f(x^k)| 의 그래프 개형을 살펴보니 x=-1에서 미분가능하지 않다는 것을 알게 되었습니다. 특히 |f(x^k)|의 경우 k가 홀수와 짝수인 경우에 따라 미분가능 할 수도 있고 불가능 할 수 있습니다. 문제를 다시 봅시다.
-------------------------------------------------------------
[문제] 다음과 같은 함수 f(x)와 자연수 n에 대하여,
함수 g(x)는 다음과 같다.
g(x)가 실수 전체 집합에서 미분 가능할 때, 모든 자연수 n의 값의 합을 구하시오.
-------------------------------------------------------------
[문제]의 질문은 미분가능하지 않는 함수의 연산으로 이루어진 함수 g(x)가 "미분 가능"하게 되도록 n 값을 결정하라는 것이군요. 그럼 g(x)가 연속함수가 되기 위해서, 미분 불가능한 점을 중심으로 좌우 극한식을 세워서 같도록 하면 됩니다. 앞서 기나긴 과정은 결국 함수 g(x)가 미분 불가능하게 만드는 특이점이 있고 x=-1이라는 것을 알기 위한 것이었습니다. 수학에 어느정도 센스가 생기면 저 식만 보고도 금방 특이점을 찾을 수 있습니다.
1) 함수 f(x)는 지수함수다.
2) 함수 f(x)는 x와 y 축으로 각각 -1씩 이동하였다
3) 함수 f(x)의 절대값을 취하면 x=-1에서 미분 불가능 하겠다.
4) 함수 f(x^k)도 지수함수다.
5) x^k인 것을 보면 k가 홀수일 때와 짝수일 때 모양이 다르겠다.
6) 함수 f(x^k)의 절대값을 취하면 k 가 홀수일 때 만 x=-1에서 불연속점이 있다.
7) 함수 g(x)는 x=-1에서 미분 불가능한 함수로 구성되었다.
8) 함수 g(x)가 모든 실수에 대해서 미분가능 하도록 수열합의 범위를 구하라.
좌우 극한값을 같게 하여 g(x)를 미분 가능하게 만듭니다. 미분의 정의로 부터 시작합시다.
좌변은 x=-1을 중심으로 오른쪽에서 극단적으로 접근(우극한), 우변은 왼쪽에서 극단적으로 접근(좌극한)하는 식입니다. 양쪽 극단의 값이 같으면 x=-1에서 연속인 것이고 미분가능하게 되는 것이지요. 각 함수의 그래프 개형을 알고 있으니 g(x)에서 절대값 기호를 벗겨 봅시다.
고려해야할 게 많은 절대값이 들어간 수식은 참 두렵습니다. 하지만 그래프 개형을 알면 귀찮을뿐이지 겁날것은 없습니다. 함수가 음이 되는 구간에서 -1을 곱하면 됩니다. |f(x^k)|에서 절대값 기호를 벗길때 약간의 센스를 발휘 했습니다. 자연수 k가 혹수일 때와 짝수일 때 함수 모양이 달라 부호 처리를 번갈아 해줘야 합니다.
이제 절대값을 벗겨낸 g(x)를 극한에 적용해 봅니다.
수식이 복잡해 보입니다. 정신 바짝 차려야 겠습니다. 먼저 좌변 부터 정리해 보겠습니다.
뭔가 느낌이 옵니다. 바로 미분계수의 정의죠.
따라서,
(좌변)을 미분 계수에 맞춰 정리해 봅니다.
이제 f(x)의 미분계수 값을 구해 봅니다.
이 미분 계수들을 정리해둔 좌변에 적용 합니다. 한가지 주의 할 것이 있는데, n이 홀수로 끝나는지 짝수로 끝나는지 알 수 없습니다.
이번에는 우변 입니다. 정리하고 미분 계수를 적용 시켰습니다. 좌변의 경우와 다르게 (-1)^(2k-1)제곱이군요. -1을 항상 홀수번 제곱하게 되므로 항상 음수입니다.
이제 좌변과 우변을 같게 놓아 미분가능하게 만들어야 합니다.
구하려는 n은 결국 등차수열의 말항이었습니다. 등차 수열의 합은 사다리꼴 면적 구하는 공식과 같습니다.
등차수열의 합을 적용하면,
n이 짝수의 경우,
100 = (1+3+5+7+...+(n-1))
n=20
드디어 n 을 구했습니다. 19와 20으로 두개가 가능 합니다.
문제를 다시한번 볼까요.
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[문제] 다음과 같은 함수 f(x)와 자연수 n에 대하여,
함수 g(x)는 다음과 같다.
g(x)가 실수 전체 집합에서 미분 가능할 때, 모든 자연수 n의 값의 합을 구하시오.
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모양만 요란했지 별거 아닌 문제였습니다. 구구단과 논리적 삶의 경륜(논리력)만 있다면 이정도 문제는 풀수 있는 겁니다. 해보니까 수학을 포기하긴 이르지요? 분량이 좀 많긴 했지만 이정도는 워밍업이면 <어른의 수학>에서 재미좀 보실 겁니다.
"구구단만 하면 미적분도 문제없다"
함수 f(x)를 미분 정의에 적용해 봅니다.
함수 f(x)의 도함수를 구하는 과정에서 지수의 연산 법칙이 적용 되었습니다. 밑이 같은 경우 곱셈은 지수끼리 덧셈과 같습니다. 맨 마지막이 생소하죠. 하지만 이미 무리수 e의 정의를 다룰때 시험 삼아 풀어 봤었지요.
이제 [문제]의 함수 f(x)의 절대값을 씌우면 미분 불가능 한 지점이 있는지 봅시다. 특이점 x=-1에서 좌우 극한 값이 일치하면 미분 가능합니다.
x=-1에서 |f(x)|의 의 우극한,
x=-1에서 |f(x)|의 의 좌극한,
좌우 극한 값이 다르므로 x=-1에서 불연속하며 미분 불가능 합니다.
지수 함수의 미분법
앞서 고차항의 미분법은 이미 알고 있습니다. 이번에는 지수함수의 미분법을 알아봅시다. 가장 중요한 수학의 발견 다섯가지를 뽑으라면,
1. 덧셈(뺄셈)의 정의와 곱셈법의 발명(구구단 착안)
2. 직각 삼각형의 정의와 피타고라스 정리
3. 원주율 pi 의 발견(모든 원은 반경과 둘레의 비율이 2pi로 항상 일정하다)
4. 무리수 e 의 발견
5. 허수 i 의 정의
원주율 pi와 무리수 e의 발견(발명?)처럼 강력한 것은 또 없을 것입니다. 무리수로서 갖는 의미는 정의된 개념으로부터 파생된 수많은 원리들에 비하면 아주 단편 적이라 하겠습니다. 실제로 수학을 다룰 때 pi 값이 얼마인지, e 값이 얼마인지 잘 따지지도 않죠. 원주의 주기성에서 주기함수, 삼각함수의 정의, 파동 방정식에 이르기 까지 시작은 원주율 pi의 정의 였습니다. 무리수 e를 오일러 상수라 하는 것을 보니 16세기 쯤 되는 것 같으니 아르키메데스 상수라 불리는 pi에 비하면 최근이라고 할 겁니다.
원주율: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8
e가 없으면 미적분도 없습니다. e가 없으면 방정식 풀이도 없습니다. e 는 온세상에서 발생하는 모든 현상을 해석하는 강력한 도구 입니다. 그 강력함을 보여주는 단서의 하나가 e 를 밑으로 하는 지수함수의 미분 입니다. 지수 함수는 미분 하면 그대로 지수함수가 됩니다. 반대로 적분하면 그대로 지수함수입니다. 뭔가 강력한 "포쓰"가 느껴지지 않습니까. 무슨짓을 해도 지수함수는 끄덕 없습니다. 나중에 물리를 배울 때 미분 방정식을 세우고 이를 풀어볼 기회가 있을 겁니다. 미분 방정식을 푼다는 것은 적분한다는 겁니다. 그런데 제아무리 연거퍼 미분을 하고 적분을 해도 지수함수는 그대로 입니다.
지수 함수가 이렇게 막강할 수 있었던 것은 무리수 e의 정의 덕분입니다. 이와 비슷한 성질로 삼각 함수가 있습니다. 싸인 함수는 미분하면 코싸인 함수가 됩니다. 코싸인 함수는 미분하면 싸인 함수가 됩니다. 코사인(사인)함수를 두번 연거퍼 미분하면 자기 자신으로 되돌아옵니다. 이 역시 미분 방정식을 푸는데 중요한 도구입니다.
미분의 연쇄 법칙(Chain Rule)
미분기호 (d/dx)는 그 자체로 연산자 입니다만 분수식 처럼 보일 때도 있습니다. 미분의 연쇄 법칙(Chain Rule)이라 합니다.
미분의 연쇄 법칙을 활용하면 합성 합수의 미분이 쉬워 집니다.
함수 그래프의 개형
함수의 그래프의 개략적 특징을 파악하면 여러가지 문제를 풀때나 결정을 내릴 때 결정적인 단서를 얻을 수 있습니다. 앞서 [문제]의 함수 f(x)의 그래프 개형을 살펴보면서 |f(x)|에 특이점이 있음을 알게 되었습니다. |f(x)|처럼 그래프의 개형만으로도 함수가 꺽이는 점이 분명한 경우 굳이 증명하지 않더라도 미분 불가능한 점이 있다고 판단할 수 있습니다. 이런 이유로 그래프의 개형을 정확히 파악하는 것은 매우 중요합니다. [문제]의 g(x)에 사용된 함수 |f(x)| 의 특징은 여러차례 살펴 봤으므로 이번에는 f(x^k)가 어떤 모양을 하는지 개형을 살펴보도록 합니다.
먼저 미분이 그래프의 개형을 살피는데 어떻게 활용 되는지 보겠습니다. 1차 미분으로 함수 그래프의 기울기 변화를 알 수 있습니다. 2차 미분으로 기울기 변화 함수의 변화를 알 수 있습니다. 3차 다항식이 있다고 합시다. 최대 3개의 해, 2개의 극점 그리고 1개의 변곡점을 가질 수 있습니다.
1차 미분으로 얻은 함수(1차 도함수)의 해가 함수의 극점의 x 좌표에 해당합니다. 이를 함수에 대입하면 y 값을 얻을 수 있습니다.
1차 미분으로 얻은 함수(1차 도함수)의 값이 양수인 x 구간에서 원 함수의 기울기는 증가 합니다. 음수인 x 구간에서는 감소합니다.
2차 미분으로 얻은 함수(2차 도함수)의 해가 함수의 변곡점 입니다. 이 점을 기점으로 기울기의 증가(혹은 감소)추세가 변합니다. 위의 그림에서 x0의 왼편은 기울기가 점점 감소 하다가 x0를 지나면서 기울기는 점점 증가합니다.
미분법을 활용하여 그래프 개형을 그려 보는 연습을 해봅시다. [문제]에서 주어진 함수로 약간 복잡해 보입니다. 함수의 입력이 단순히 x 가 아니고 x의 k제곱 이군요. k는 자연수라니 다행입니다. 정수 였다면 음수인 경우 양수인 경우 그리고 0인 경우를 모두 땨져봐야 했습니다.
미분을 하려는데 수식의 꼴이 조금 복잡하죠. 지수함수의 지수부 안에 다시 다항 함수가 들어가 있습니다. 지금까지 알고 있던 미분법은 두가지 였습니다. 고차 다항식과 지수함수의 미분법은 알고 있습니다.
그런데 f(x)는 이 두가지 양식의 수식이 역여 있습니다. 역인 것을 풀면 되죠. 이럴 때 치환기법이 제역활을 하죠.
치환한 함수를 각각 미분한 후 연쇄 법칙(chain rule)으로 합치면 됩니다.
연쇄 미분법이 이렇게 표시되기도 합니다. 마치 분수식인 것 처럼 보이지만 표기의 편의를 위한 것이지 실제로 분수식은 아닙니다. 미분 연산자 d/dx 는 어떤 함수를 x 에 대해 미분하라는 것입니다. 따라서 미분 될 함수는 x 의 함수라는 것을 암시합니다.
사실 경험이 쌓이면 이정도 미분은 굳이 치환하는 과정 없이 막바로 수행 할 수 있게 될 겁니다. 이제 f(x)의 미분 식을 구했으니 특이점과 대략적인 그래프의 모양을 추론해 봅시다. f(x)의 1계 도함수 f'(x)를 다시 봅시다.
도함수도 모양이 조금 심난 하군요. 하지만 도함수를 구한 이유가 함수의 곡선의 개요를 기울기로 파악하려는 것이었습니다. 즉, 도함수 값이 음의 범위인지 양의 범위인지 만 알아내면 됩니다. 두개의 곱으로 나눠 볼 수 있습니다. (A)는 지수함수, (B)는 고차함수 입니다. 지수함수 기억나죠. 지수함수는 모든 실수에 대하여 항상 양의 범위에 있습니다. 도함수의 (A)부분에서 지수부가 조금 복잡하긴 해 보이지만 실수인 것은 확실합니다. x가 실수면 실수에 실수를 곱하거나 더한 (x^k+1)도 항상 실수입니다. 따라서 (A)는 항상 양수 입니다. (B)부분은 어떤가요? x의 (k-1)제곱입니다. 제곱의 결과는 음수 혹은 양수가 될 수 있습니다. 만일 음수(x<0)를 짝수번 제곱하면 양수지만 홀수번 제곱하면 음수입니다. 따라서 f'(x)는 (k-1)가 홀수가 되거나 짝수가 되는 경우를 분리하여 기울기를 따져야 되겠습니다.
(1) (k-1)이 짝수 일때 (k는 홀수),
도함수 f'(x)의 (A)부분은 항상 양수이며 (B)도 역시 항상 양수입니다. 따라서 f'(x)는 극점인 x=0 양쪽으로 모두 기울기가 양수입니다. 기울기를 f(x)에 적용한 후 x가 각각 음의 무한대와 양의 무한대일 경우도 고려해야 합니다. x 가 양의 무한대 일때 f(x)도 무한대로 증가합니다. x 가 음의 무한대로 갈때 f(x)는 -1에 수렴한다. f(x)는 지수함수 입니다. 함수 f(x)는 y축과 x 축을 지납니다. 각 축에 대한 절편을 구해보면, x=0일때 f(0) = (e-1), f(x)=0일때 x=-1 입니다. k가 홀수 일때 함수 f(x)의 그래프 개형은 다음과 같습니다.
(2) (k-1)이 홀수 일때 (k는 짝수),
도함수 f'(x)의 (A)부분은 항상 양수이며 (B)는 x가 음의 구간에서 음수범위에, 양의 구간에서 양수 범위에 있습니다. 따라서 f'(x)는 극점인 x=0 의 음의 구간은 기울기가 음이며, 양의 구간에서 기울기도 양입니다. 기울기를 f(x)에 적용한 후 x가 각각 음의 무한대와 양의 무한대일 경우도 고려하면 x 가 양의 무한대, 음의 무한대 모두 f(x)도 무한대로 증가합니다.
이제 [문제]에서 요구한 대로 함수에 절대 값을 적용해 봅니다. 그래프의 개형을 보면 분명합니다. k가 짝수일때 f(x)는 항상 양수인데 비해 k가 홀수 일때 f(x)는 -1을 지나며 음수가 됩니다. 절대값을 취하면 꺽인점이 되므로 x=-1에서 미분가능하지 않습니다.
드디어 문제를 풀어보자.
문제에서 제시한 "미분가능"의 뜻을 이해하기 위해 먼길을 왔습니다. 함수 f(x)에 대하여 |f(x)|와 |f(x^k)| 의 그래프 개형을 살펴보니 x=-1에서 미분가능하지 않다는 것을 알게 되었습니다. 특히 |f(x^k)|의 경우 k가 홀수와 짝수인 경우에 따라 미분가능 할 수도 있고 불가능 할 수 있습니다. 문제를 다시 봅시다.
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[문제] 다음과 같은 함수 f(x)와 자연수 n에 대하여,
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[문제]의 질문은 미분가능하지 않는 함수의 연산으로 이루어진 함수 g(x)가 "미분 가능"하게 되도록 n 값을 결정하라는 것이군요. 그럼 g(x)가 연속함수가 되기 위해서, 미분 불가능한 점을 중심으로 좌우 극한식을 세워서 같도록 하면 됩니다. 앞서 기나긴 과정은 결국 함수 g(x)가 미분 불가능하게 만드는 특이점이 있고 x=-1이라는 것을 알기 위한 것이었습니다. 수학에 어느정도 센스가 생기면 저 식만 보고도 금방 특이점을 찾을 수 있습니다.
1) 함수 f(x)는 지수함수다.
2) 함수 f(x)는 x와 y 축으로 각각 -1씩 이동하였다
3) 함수 f(x)의 절대값을 취하면 x=-1에서 미분 불가능 하겠다.
4) 함수 f(x^k)도 지수함수다.
5) x^k인 것을 보면 k가 홀수일 때와 짝수일 때 모양이 다르겠다.
6) 함수 f(x^k)의 절대값을 취하면 k 가 홀수일 때 만 x=-1에서 불연속점이 있다.
7) 함수 g(x)는 x=-1에서 미분 불가능한 함수로 구성되었다.
8) 함수 g(x)가 모든 실수에 대해서 미분가능 하도록 수열합의 범위를 구하라.
좌우 극한값을 같게 하여 g(x)를 미분 가능하게 만듭니다. 미분의 정의로 부터 시작합시다.
좌변은 x=-1을 중심으로 오른쪽에서 극단적으로 접근(우극한), 우변은 왼쪽에서 극단적으로 접근(좌극한)하는 식입니다. 양쪽 극단의 값이 같으면 x=-1에서 연속인 것이고 미분가능하게 되는 것이지요. 각 함수의 그래프 개형을 알고 있으니 g(x)에서 절대값 기호를 벗겨 봅시다.
고려해야할 게 많은 절대값이 들어간 수식은 참 두렵습니다. 하지만 그래프 개형을 알면 귀찮을뿐이지 겁날것은 없습니다. 함수가 음이 되는 구간에서 -1을 곱하면 됩니다. |f(x^k)|에서 절대값 기호를 벗길때 약간의 센스를 발휘 했습니다. 자연수 k가 혹수일 때와 짝수일 때 함수 모양이 달라 부호 처리를 번갈아 해줘야 합니다.
이제 절대값을 벗겨낸 g(x)를 극한에 적용해 봅니다.
수식이 복잡해 보입니다. 정신 바짝 차려야 겠습니다. 먼저 좌변 부터 정리해 보겠습니다.
뭔가 느낌이 옵니다. 바로 미분계수의 정의죠.
따라서,
(좌변)을 미분 계수에 맞춰 정리해 봅니다.
이제 f(x)의 미분계수 값을 구해 봅니다.
이 미분 계수들을 정리해둔 좌변에 적용 합니다. 한가지 주의 할 것이 있는데, n이 홀수로 끝나는지 짝수로 끝나는지 알 수 없습니다.
이번에는 우변 입니다. 정리하고 미분 계수를 적용 시켰습니다. 좌변의 경우와 다르게 (-1)^(2k-1)제곱이군요. -1을 항상 홀수번 제곱하게 되므로 항상 음수입니다.
이제 좌변과 우변을 같게 놓아 미분가능하게 만들어야 합니다.
구하려는 n은 결국 등차수열의 말항이었습니다. 등차 수열의 합은 사다리꼴 면적 구하는 공식과 같습니다.
등차수열의 합을 적용하면,
n이 짝수의 경우,
100 = (1+3+5+7+...+(n-1))
n=20
드디어 n 을 구했습니다. 19와 20으로 두개가 가능 합니다.
문제를 다시한번 볼까요.
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[문제] 다음과 같은 함수 f(x)와 자연수 n에 대하여,
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모양만 요란했지 별거 아닌 문제였습니다. 구구단과 논리적 삶의 경륜(논리력)만 있다면 이정도 문제는 풀수 있는 겁니다. 해보니까 수학을 포기하긴 이르지요? 분량이 좀 많긴 했지만 이정도는 워밍업이면 <어른의 수학>에서 재미좀 보실 겁니다.
"구구단만 하면 미적분도 문제없다"
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