(1부, 원) https://goodkook.blogspot.kr/2017/10/1.html
(2부, 쌍곡선) https://goodkook.blogspot.kr/2017/10/2.html
이제 본격적인 문제 풀이 입니다. 앞서 쌍곡선과 타원의 방정식을 직교 좌표상에서 유도해 냈습니다. 상기해 보죠.
쌍곡선은 두 초점과 움직이는 점 사이의 거리 "차"가 꼭지점 사이의 거리와 같은 곡선입니다.
그리고 유도한 쌍곡선의 방정식 입니다.
타원은 두 초점과 움직이는 점 사이의 거리 "합"이 장축의 거리와 같은 곡선입니다.
그리고 유도한 타원의 방정식 입니다.
쌍곡선과 타원의 방정식을 가지고 문제를 풀어 보겠습니다. 문제에서 제시한 조건들을 토대로 그림을 그려보면,
타원의 단축의 길이를 구하라는 것입니다. 타원의 방정식에서 초점과 장축의 길이를 알면 단축의 길이를 구할 수 있읍니다. 하지만 초점이 주어지긴 했어도 장축의 길이(x 절편값)은 모릅니다.
다행히 타원의 정의로부터 장축의 길이를 구할 수 있겠군요. 게다가 삼각형 F'FP는 고맙게도 직각 삼각형 이랍니다. 이번에도 피타고라스 정리를 이용하면 되겠군요. 직각 삼각형의 위력을 새삼 실감 합니다.
직각 삼각형 F'FP의 밑변 길이는 두 초점 사이의 길이와 같고, 높이는 점 P의 y 값과 같습니다. 쌍곡선 위의 점 P의 좌표를 구하려면 쌍곡선의 방정식을 알아야 겠군요. 문제에서 제시된 초점과 꼭지점을 이용해 쌍곡선의 방정식을 구합니다. 꼭지점 A의 x 값 좌표가 3입니다. 초점 F의 x 좌표값은 5입니다. 이를 앞서 구한 쌍곡선의 방정식에 적용해 얻은 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.
문제에 따르면 쌍곡선 상의 점 P에서 x 축으로 수선을 내리면 초점 F에 닫는다고 합니다. 그럼 P의 x 값은 5입니다. 쌍곡선 방정식에 x=5 를 대입하여 점 P의 y 값을 구합니다.
이후 간단한 산수 셈하는 과정입니다. 분수를 굳이 계산하려 들지 마세요. 제곱을 굳이 계산하려 들지 마세요.
이제 직각 삼각형 F'FP에서 빛변의 길이를 구할 수 있게 됐습니다.
마침내 타원의 장축의 길이를 구합니다.
잠깐! 356이 34의 제곱인 것은 어떻게 알았죠? 설마 30단 곱셈 암산이 가능한가요? 계산기를 사용 했나요? 수학적 센스를 발휘해 봅니다. 빛변 구하기 실을 약간 고쳐보죠.
왜냐면 인수분해가 가능하거든요.
쌍곡선의 정의에서 두 촛점과 P사이의 거리 차를 이미 알고 있습니다.
구하려고 했던 것은 타원의 두 촛점에서 P사이의 거리 합이죠.
타원의 장축 길이(a)도 구했고 촛점의 좌표(c)도 알고 있습니다. 이제 단축의 길이(b)를 구하면 끝이군요.
계산 하려고 했더니 도처에 지뢰밭입니다. 제곱해서 빼고 다시 제곱근이라니 산수계산 쯤이야 하지만 만만치 않군요.
5의 제곱이면, 각 항에 25가 있으므로 이를 이용햐여 이번에도 수학의 요령을 부려봅니다.
결합법칙, 배분법칙, 인수분해 등등 기초적인 산수가 필요할 때마다 퍼뜩 떠올라 주면 고생이 덜할텐데..... 머리 회전이 예전만 못합니다.
<과학과 사람들> http://sciencepeople.co.kr 의 수포자 탈출 프로젝트 <어른의 수학> !
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그나저나 이거 만든다고 이틀 꼬박 걸렸습니다. 수능이 보름 앞인데.... 아주 불량한 수험생입니다.
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