수학, 뭐라고 했쌌는거야? (3부, 타원)

수학, 뭐라고 했쌌는거야? (3부, 타원)

(1부, 원) https://goodkook.blogspot.kr/2017/10/1.html
(2부, 쌍곡선) https://goodkook.blogspot.kr/2017/10/2.html

[문제] 두 점 F(5,0)와 F'(-5,0)을 초점으로 하고 두 점 A(3,0)와 B(-3,0)을 꼭지점으로 하는 쌍곡선 위의 점 P에서 x-축에 내린 수선의 발이 점 F 일 때 두 점 F와 F'을 초점으로 하고 점 P를 지나는 타원의 단축의 길이는? (대입 수능 "기하와 벡터" 연습문제 중에서)

문제를 다시 살펴 봅시다. 타원의 단축의 길이를 구하는 것입니다. 타원의 단축은 타원의 방정식에서 x=0일때 y 값을 구하면 되겠군요. 타원의 방정식을 모른다면 구해 보는 겁니다. 쌍곡선 방정식을 유도해 냈던 것처럼.

타원의 방정식 구하기,

타원의 정의는 앞서 쌍곡선의 정의와 유사합니다. "두 초점에서 곡선상의 점P까지 거리 합이 장축의 길이와 같다." 두 초점에서 움직이는 점까지 거리의 "차"에서 "합"으로 바뀐 겁니다. 좀 쉬울 것 같기도 합니다.

피타고라스 정리를 이용해 두 초점 F(c,0), F(-c,0) 과 P(x,y)사이의 길이를 구하고, 타원의 정의식에 적용하면 이렇게 됩니다.

제곱근을 제거하기 위해 양변을 제곱 합니다. 이대로 제곱하면 제곱근 항이 복잡해 집니다. 제곱근 항 하나를 우변으로 넘긴 후 제곱 합니다. 그리고 좌우변 공통 항들을 소거한 후 정리해 줍니다.

아직 제곱근이 남았으니 또 한번 양변을 제곱해 줍니다. 그리고 정리해 놓고 보니 쌍곡선 방정식과 비슷하지요?

어라? 쌍곡선과 똑 같은데요?

그럴리가요. 쌍곡선의 정의에서 전제 조건이 두 곡선의 꼭지점 사이의 거리 였습니다. 꼭지점은 쌍곡선 방정식의 x 절편(y=0일때)이 a 와 -a 였습니다. 그리고 초점의 좌표보다 항상 작았죠(a < c). 그에 반해 타원의 x 절편, a 와 -a 는 장축의 길이 입니다. 그리고 촛점보다 항상 깁니다( a > c). 따라서 (c^2 - a^2)은 항상 0보다 작습니다. 그러므로 방정식은 이렇게 됩니다.

결국 타원의 방정식은 이렇습니다.

단지 전제 조건에 따라 방정식의 의미가 달라질 수 있다는 것을 유념해 두어야 합니다. 단지 방정식을 외울 것이 아니라 정의된 개념을 함께 이해해 두어야 한다는 뜻입니다.

<계속> 

[참고]-------------------------------------------------

쌍곡선의 방정식