GoodKook's Place: 수학, 뭐라고 했쌌는거야? (2부, 쌍곡선)

수학, 뭐라고 했쌌는거야? (2부, 쌍곡선)

(1부, 원) https://goodkook.blogspot.kr/2017/10/1.html

전편에서 앞으로 문제 풀이를 위한 소통의 기본을 마련할 겸 수학의 사소한 것들을 다소 장황하다 싶을 정도로 살펴 봤었습니다. 이번에는 좀더 문제에 접근해 봅니다. 다시 문제를 상기해 봅시다.

[문제] 두 점 F(5,0)와 F'(-5,0)을 초점으로 하고 두 점 A(3,0)와 B(-3,0)을 꼭지점으로 하는 쌍곡선 위의 점 P에서 x-축에 내린 수선의 발이 점 F 일 때 두 점 F와 F'을 초점으로 하고 점 P를 지나는 타원의 단축의 길이는? (대입 수능 "기하와 벡터" 연습문제 중에서)

문제에서 제공된 정보를 근거로 도데체 뭘 구하라는 것인지 파악해 보겠습니다. 제시된 5개의 점은 모두 쌍곡선과 관련된 점입니다. 점 P는 쌍곡선 위의 점으로 좌표 값이 알려지지 않았군요, 쌍곡선을 그려보면 이렇습니다.

점 P는 쌍곡선 위의 점이자 타원의 점이기도 합니다. 점 F, F'를 초점으로 하고 역시 점 P을 지나는 타원의 방정식을 구해서 단축의 길이를 구하는 것이 문제 입니다. 결국 점 P의 정확한 좌표값을 구하는 것이 관건이 되겠습니다.

중점의 좌표와 한 점의 좌표를 알면 원의 방정식을 구할 수 있습니다. 초점과 쌍곡선(타원, 포물선) 위의 한 점을 알면 방정식을 구할 수 있습니다.

"쌍곡선"의 방정식 구하기

유려한 곡선이 짝을 이루고 있는 쌍곡선의 정의는 "두 초점과 거리 차가 꼭지점 간격의 2배인 점들의 집합"입니다. "초점"은 원의 "중점" 처럼 곡선의 기준점인데 원과는 달리 2개가 존재 합니다. 꼭지점은 두 곡선의 거리가 가장 가까와 지는 점입니다.

쌍곡선의 정의를 간단하게 수식으로 표현할 수 있습니다.

두 초점 F, F'에서 움직이는 점을 P사이의 거리를 가지고 표현한 겁니다. 초점이 두개라 다소 생소해 보이긴 하지만 근본적으로 "원"의 경우와 크게 다르지 않죠. 기준점에서 움직이는 점까지의 거리를 일정하게 제한해 두고, 이를 만족하는 점의 집합이죠.

먼저 쌍곡선을 그리려면 초점과 꼭지점을 알려 주어야 합니다. 두개의 꼭지점을 F(c,0), F'(-c,0) 라 하고, 꼭지점을 A(a,0), B(-a,0) 라 합시다. 도형의 위치는 좌표공간 어느 곳이든 존재할 수 있지만 편의상 x-축상에 놓여 있다고 합니다. y좌표 값을 0으로 놓을 수 있으니 유도 과정이 많이 편리 합니다. 이 처럼 식을 세우는 과정에서 계산의 편의를 위해 직접적인 영향을 주지 않는 부분을 제거하는 일은 흔합니다. 다만 제거된 요소가 결과에 영향이 없거나 혹은 매우 작다는 것이 증명되어야 하는데 이 경우 이의를 제기할 사람은 없을 겁니다. 나중에 방정식을 구한 후 임의의 위치로 변경하기는 매우 쉽습니다.

움직이는 점 P,

도형의 방정식은 움직이는 점 P의 궤적을 수식으로 나타낸 겁니다. 쌍곡선의 정의를 따르기 위해 초점과 움직이는 점 사이의 거리를 구해 봅시다. x-축과 y-축이 직각으로 교차하는 좌표공간에서 도형의 방정식을 구해 보기로 합니다. 점 사이의 길이를 구할 때 직각 삼각형과 피타고라스 정리를 활용할 수 있기 때문이죠.

움직이는 점은 P는 각각 x와 y축의 직교 좌표 공간(평면)위에 놓여 있다는 의미로 P(x,y) 라고 표현 합니다. 알려진 초점 F(c,0)와 F'(-c,0)에서 점 P(x,y)의 거리는 직각 삼각형과 피타고라스 정리라는 아주 강력한 도구를 활용하면 쉽게 구할 수 있죠. 직교 좌표공간을 끌어낸 이유 이기도 하구요.

그런데 쌍곡선이 두 초점과 움직이는 점 P의 거리의 "차"로 정의 되어 있다는 것에 주의해야 합니다. "차"란 뺄셈을 근거로 하기 때문이죠. "차"를 구하기 위해 뺄셈을 L(PF) - L(PF') 로 했다고 합시다. L(PF) > L(PF') 일 수도 있고 L(PF) < L(PF') 인 경우도 있겠지요. 만일 L(PF) < L(PF') 라면 "뺄셈"의 값이 음수가 되겠군요. 그런데 거리는 음수가 될 수 없잖아요. 그래서 "차"를 표현할 때는 "절대값"이라는 수학적 도구를 씁니다.

쌍곡선의 정의가 거리의 "차"라고 정의된 덕분에 L(PF) > L(PF') 와 L(PF) < L(PF')의 두가지 경우가 있고 서로 마주보는 두개의 곡선이 생겨난 겁니다. 그래서 쌍곡선이죠.

"절대값"을 다루는 요령,

"절대값"의 세계에서는 음수는 없습니다. 모두 양수죠. 만일 어떤 변수가 음수를 갖는다면 -1을 곱해서 양수로 만듭니다. 즉, 두개의 분리된 표현이 있을 수 있다는 거죠.

결과는 하나지만 조건에 의해 달라지는 두개의 수식이 존재하면 보기에 매우 불편 합니다. 항상 양수로 만드는 수학적 방법으로 제곱을 취하는 겁니다. 불편한 "절대값"을 다루는 요령 중 하나 입니다. 음수 곱하기 음수는 양수니까요. 게다가 자기 자신을 제곱 했으니 역으로 제곱근을 구하면 원래 값으로 복원도 가능 하죠. 수학에서 계산의 편의를 위해 변환, 치환 등의 조작(?)을 할 수는 있지만 언재든 원래되로 되돌릴 수 있어야합니다. 복원 할 수 있는 변환과 치환은 수학의 매우 강력한 도구 입니다.

이제 양변을 제곱하여 절대값 기호를 없애고 범용의 쌍곡선 방정식을 보면 이렇습니다.

이대로 놓아도 쌍곡선의 방정식 입니다만 제곱근 기호가 눈에 거슬리네요. 왜냐면 제곱근 안의 값은 음수가 되면 안된다는 조건을 가지고 있거든요. 앞서 절대값을 다룰 때도 그랬지만 수식 표현에서 이럴 때는 이렇게 저럴 때는 저렇게 라는 식으로 표현할 방법은 없습니다. 좀더 수학을 배우면 이런 상황이 함수의 정의에도 위배되고, 불연속이며 미분가능하지 않고 해석적이지 않은 경우라고 합니다. 논리적으로 생각해 봐도 그렇습니다. 절대값을 없애기 위해, 항상 양수로 만들기 위해 제곱을 취했다가 다시 복원하기 위해 제곱근을 구했더니 음수가 나오면 않되는 거죠.

일단 분배법칙을 동원하여 제곱식을 풀어 봅시다. 이 식은 복잡하거나 어려운게 아닙니다. 지저분 한겁니다. 정신 바짝 차리고 빠트리는것 없이 꼼꼼 하게 풀어냅니다. 하다가 지치면 쉬었다 하더라도 불굴의 투지로 풀어보는 겁니다.

제아무리 불굴의 투지를 가졌더라도 이렇게 풀 수는 없을 것 같습니다. 제곱근이 풀어지기는 커녕 더 복잡한 제곱근 식이 나왔습니다. 호미로 막을걸 가래로도 못막는 꼴이 되었네요. (아재들만 알 겻 같은 이 속담 이라니 역시 <어른의 수학>)

쌍곡선의 정의를 다시 보죠.

절대값의 의미를 곱씹어보면 두 범위(x의 양의 범위와 음의 범위)에 그려진 곡선이 완전히 분리되어 있습니다. 교점이나 접점이 없군요. 이럴 땐 굳이 합치려하지 말고 분리해서 다뤄보는 겁니다.

이렇게 놓고 두 식을 각각 풀어보는 겁니다. 절대값을 다루는 또다른 요령이죠. 따로 풀어놓은 후 두 결과를 비교하는 방법인데 웬지 효과적이지 않고 번거로울 듣도 하지만 별 수 없습니다. 절대값과 제곱근이 보이면 불편하기 때문에 수학 공식이나 방정식에서 잘 볼 수 없는 기호 이기도 하구요. 이에 반해 계산기계(컴퓨터)를 활용하는 전산수학, 수치해석 등에는 많이 등장하죠. 절대값이나 제곱근은 사실 수식을 꾸미고 값을 얻는데 아주 유용한 도구 인 것은 맞습니다. 단지 사람이 다루기에 심히 불편한 것이죠. 기계는 사람과 달리 복잡한 수식을 주어도 불평하지 않고 계산을 잘 해냅니다. 이럴땐 저렇게, 저럴땐 이렇게 따위의 서술적인 표현도 척척 수행해 줍니다. 바로 프로그래밍의 if~then~else에 특화 되어 있기 때문입니다. 문제를 정확하게 정의해 놓고 세세한 계산은 컴퓨터에세 맞겨 두자는 거죠. 근데 왜 수치해석 과목은 그리 어려울까요?

다시 "쌍곡선",

먼저 왼쪽, x의 양의 영역에 놓인 곡선입니다. L(PF') > L(PF) 인 경우이죠.